Theorem mulidpi 7430

Description: 1 is an identity element for multiplication on positive integers. (Contributed by NM, 4-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mulidpi	|- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )

Proof of Theorem mulidpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7427	. . 3 |- 1o e. N.
2		mulpiord 7429	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( A .N 1o ) = ( A .o 1o ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = ( A .o 1o ) )
4		pinn 7421	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
5		nnm1 6610	. . 3 |- ( A e. om -> ( A .o 1o ) = A )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( A e. N. -> ( A .o 1o ) = A )
7	3, 6	eqtrd 2237	1 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   omcom 4637  (class class class)co 5943   1oc1o 6494   .o comu 6499   N.cnpi 7384   .N cmi 7386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-ni 7416  df-mi 7418

This theorem is referenced by:  1qec  7500  1lt2nq  7518  archnqq  7529  prarloclemarch2  7531  ltnnnq  7535  addpinq1  7576  prarloclemlt  7605