Theorem ltmpig 7340

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Proof of Theorem ltmpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7310	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7310	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		elni2 7315	. . . . . 6 |- ( C e. N. <-> ( C e. om /\ (/) e. C ) )
4		iba 300	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
5		nnmord 6520	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	4, 5	sylan9bbr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
7	6	3exp1 1223	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
8	7	imp4b 350	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( C e. om /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
9	3, 8	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
10	1, 2, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
12		ltpiord 7320	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
14		mulclpi 7329	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) e. N. )
15		mulclpi 7329	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) e. N. )
16		ltpiord 7320	. . . . . . 7 |- ( ( ( C .N A ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
18		mulpiord 7318	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
20		mulpiord 7318	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
22	19, 21	eleq12d 2248	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) e. ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
23	17, 22	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
24	23	anandis 592	. . . 4 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
25	24	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
26	11, 13, 25	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
27	26	3impa 1194	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   omcom 4591  (class class class)co 5877   .o comu 6417   N.cnpi 7273   .N cmi 7275   <N clti 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-ni 7305  df-mi 7307  df-lti 7308

This theorem is referenced by:  ordpipqqs  7375  ltsonq  7399  ltanqg  7401  ltmnqg  7402  1lt2nq  7407