Theorem ltmpig 6959

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Proof of Theorem ltmpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6929	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 6929	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		elni2 6934	. . . . . 6 |- ( C e. N. <-> ( C e. om /\ (/) e. C ) )
4		iba 295	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
5		nnmord 6290	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	4, 5	sylan9bbr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
7	6	3exp1 1160	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
8	7	imp4b 343	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( C e. om /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
9	3, 8	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
10	1, 2, 9	syl2an 284	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
11	10	imp 123	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
12		ltpiord 6939	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
13	12	adantr 271	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
14		mulclpi 6948	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) e. N. )
15		mulclpi 6948	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) e. N. )
16		ltpiord 6939	. . . . . . 7 |- ( ( ( C .N A ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 284	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
18		mulpiord 6937	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
19	18	adantr 271	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
20		mulpiord 6937	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
21	20	adantl 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
22	19, 21	eleq12d 2159	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) e. ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
23	17, 22	bitrd 187	. . . . 5 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
24	23	anandis 560	. . . 4 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
25	24	ancoms 265	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
26	11, 13, 25	3bitr4d 219	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
27	26	3impa 1139	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 925   = wceq 1290   e. wcel 1439   (/)c0 3287   class class class wbr 3851   omcom 4418  (class class class)co 5666   .o comu 6193   N.cnpi 6892   .N cmi 6894   <N clti 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-ni 6924  df-mi 6926  df-lti 6927

This theorem is referenced by:  ordpipqqs  6994  ltsonq  7018  ltanqg  7020  ltmnqg  7021  1lt2nq  7026