Theorem ltmpig 7619

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Proof of Theorem ltmpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7589	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7589	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		elni2 7594	. . . . . 6 |- ( C e. N. <-> ( C e. om /\ (/) e. C ) )
4		iba 300	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
5		nnmord 6728	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	4, 5	sylan9bbr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
7	6	3exp1 1250	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
8	7	imp4b 350	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( C e. om /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
9	3, 8	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
10	1, 2, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
12		ltpiord 7599	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
14		mulclpi 7608	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) e. N. )
15		mulclpi 7608	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) e. N. )
16		ltpiord 7599	. . . . . . 7 |- ( ( ( C .N A ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
18		mulpiord 7597	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
20		mulpiord 7597	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
22	19, 21	eleq12d 2302	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) e. ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
23	17, 22	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
24	23	anandis 596	. . . 4 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
25	24	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
26	11, 13, 25	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
27	26	3impa 1221	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   (/)c0 3496   class class class wbr 4093   omcom 4694  (class class class)co 6028   .o comu 6623   N.cnpi 7552   .N cmi 7554   <N clti 7555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-ni 7584  df-mi 7586  df-lti 7587

This theorem is referenced by:  ordpipqqs  7654  ltsonq  7678  ltanqg  7680  ltmnqg  7681  1lt2nq  7686