Theorem ltmpig 7696

Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmpig	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Proof of Theorem ltmpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7666	. . . . 5 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7666	. . . . 5 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		elni2 7671	. . . . . 6 |- ( C e. N. <-> ( C e. om /\ (/) e. C ) )
4		iba 300	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( A e. B /\ (/) e. C ) ) )
5		nnmord 6780	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A e. B /\ (/) e. C ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
6	4, 5	sylan9bbr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
7	6	3exp1 1254	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( B e. om -> ( C e. om -> ( (/) e. C -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) )
8	7	imp4b 350	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( C e. om /\ (/) e. C ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
9	3, 8	biimtrid 152	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
10	1, 2, 9	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( C e. N. -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) )
11	10	imp 124	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A e. B <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
12		ltpiord 7676	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
13	12	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
14		mulclpi 7685	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) e. N. )
15		mulclpi 7685	. . . . . . 7 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) e. N. )
16		ltpiord 7676	. . . . . . 7 |- ( ( ( C .N A ) e. N. /\ ( C .N B ) e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .N A ) e. ( C .N B ) ) )
18		mulpiord 7674	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ A e. N. ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
19	18	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N A ) = ( C .o A ) )
20		mulpiord 7674	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. N. /\ B e. N. ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
21	20	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( C .N B ) = ( C .o B ) )
22	19, 21	eleq12d 2309	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) e. ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
23	17, 22	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( C e. N. /\ A e. N. ) /\ ( C e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
24	23	anandis 600	. . . 4 |- ( ( C e. N. /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
25	24	ancoms 268	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( C .N A ) <N ( C .N B ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) )
26	11, 13, 25	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )
27	26	3impa 1225	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A <N B <-> ( C .N A ) <N ( C .N B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   class class class wbr 4125   omcom 4732  (class class class)co 6075   .o comu 6675   N.cnpi 7629   .N cmi 7631   <N clti 7632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-ni 7661  df-mi 7663  df-lti 7664

This theorem is referenced by:  ordpipqqs  7731  ltsonq  7755  ltanqg  7757  ltmnqg  7758  1lt2nq  7763