ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmpig Unicode version

Theorem ltmpig 6959
Description: Ordering property of multiplication for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 31-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmpig  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )

Proof of Theorem ltmpig
StepHypRef Expression
1 pinn 6929 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 6929 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 elni2 6934 . . . . . 6  |-  ( C  e.  N.  <->  ( C  e.  om  /\  (/)  e.  C
) )
4 iba 295 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  <->  ( A  e.  B  /\  (/)  e.  C
) ) )
5 nnmord 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  e.  B  /\  (/)  e.  C )  <-> 
( C  .o  A
)  e.  ( C  .o  B ) ) )
64, 5sylan9bbr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  C )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
763exp1 1160 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  om  ->  ( C  e.  om  ->  (
(/)  e.  C  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) ) ) )
87imp4b 343 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( C  e. 
om  /\  (/)  e.  C
)  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
93, 8syl5bi 151 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
101, 2, 9syl2an 284 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) ) )
1110imp 123 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
12 ltpiord 6939 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
1312adantr 271 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
A  e.  B ) )
14 mulclpi 6948 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  .N  A
)  e.  N. )
15 mulclpi 6948 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  .N  B
)  e.  N. )
16 ltpiord 6939 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  .N  A
)  e.  N.  /\  ( C  .N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B )  <->  ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B ) ) )
1714, 15, 16syl2an 284 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B ) ) )
18 mulpiord 6937 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( C  .N  A
)  =  ( C  .o  A ) )
1918adantr 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  .N  A )  =  ( C  .o  A ) )
20 mulpiord 6937 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( C  .N  B
)  =  ( C  .o  B ) )
2120adantl 272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( C  .N  B )  =  ( C  .o  B ) )
2219, 21eleq12d 2159 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  e.  ( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2317, 22bitrd 187 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  N.  /\  A  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2423anandis 560 . . . 4  |-  ( ( C  e.  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2524ancoms 265 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( C  .N  A )  <N 
( C  .N  B
)  <->  ( C  .o  A )  e.  ( C  .o  B ) ) )
2611, 13, 253bitr4d 219 . 2  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <-> 
( C  .N  A
)  <N  ( C  .N  B ) ) )
27263impa 1139 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  ( C  .N  A )  <N  ( C  .N  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 925    = wceq 1290    e. wcel 1439   (/)c0 3287   class class class wbr 3851   omcom 4418  (class class class)co 5666    .o comu 6193   N.cnpi 6892    .N cmi 6894    <N clti 6895
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-ni 6924  df-mi 6926  df-lti 6927
This theorem is referenced by:  ordpipqqs  6994  ltsonq  7018  ltanqg  7020  ltmnqg  7021  1lt2nq  7026
  Copyright terms: Public domain W3C validator