ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Unicode version
Theorem prarloclemlt 7492
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7502. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6522 . . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
2 nnacl 6481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
31, 2mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
4 nnaword1 6514 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y +o 2o ) e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
53, 4sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6 1oex 6425 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. _V
76sucid 4418 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. suc 1o
8 df-2o 6418 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
97, 8eleqtrri 2253 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
10 nnaordi 6509 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
111, 10mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
1312adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
145, 13sseldd 3157 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
1514ancoms 268 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
16 1pi 7314 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. N.
17 nnppipi 7342 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
1816, 17mpan2 425 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. N. )
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
20 o1p1e2 6469 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) = 2o
21 1onn 6521 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. om
22 nnppipi 7342 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +o 1o ) e. N. )
2321, 16, 22mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) e. N.
2420, 23eqeltrri 2251 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. N.
25 nnppipi 7342 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ 2o e. N. ) -> ( y +o 2o ) e. N. )
2624, 25mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. N. )
27 pinn 7308 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o 2o ) e. N. -> ( y +o 2o ) e. om )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
29 nnacom 6485 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
3028, 29sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
31 nnppipi 7342 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. N. ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
3226, 31sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
3330, 32eqeltrrd 2255 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. )
34 ltpiord 7318 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
3519, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
3615, 35mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) )
37 mulidpi 7317 . . . . . . . . 9 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
39 mulcompig 7330 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
4033, 16, 39sylancl 413 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
41 mulidpi 7317 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
4340, 42eqtr3d 2212 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
4438, 43breq12d 4017 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) <-> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
4536, 44mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
46 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> y e. om )
47 ordpipqqs 7373 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
4816, 47mpanl2 435 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
4916, 48mpanr2 438 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
5018, 49sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
5146, 33, 50syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
5245, 51mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
5352adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
54 opelxpi 4659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
5519, 16, 54sylancl 413 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
56 enqex 7359 . . . . . . . . 9 |- ~Q e. _V
5756ecelqsi 6589 . . . . . . . 8 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
5855, 57syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
59 df-nqqs 7347 . . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
6058, 59eleqtrrdi 2271 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
6160adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
62 opelxpi 4659 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
6333, 16, 62sylancl 413 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
6456ecelqsi 6589 . . . . . . . 8 |- ( <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6665, 59eleqtrrdi 2271 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
6766adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
68 simplr3 1041 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
69 ltmnqg 7400 . . . . 5 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
7061, 67, 68, 69syl3anc 1238 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
7153, 70mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) )
72 mulcomnqg 7382 . . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
7368, 61, 72syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
74 mulcomnqg 7382 . . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
7568, 67, 74syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
7673, 75breq12d 4017 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) <-> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
7771, 76mpbid 147 . 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
78 mulclnq 7375 . . . 4 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
7961, 68, 78syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
80 mulclnq 7375 . . . 4 |- ( ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
8167, 68, 80syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
82 simplr1 1039 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
83 simplr2 1040 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
84 elprnql 7480 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
8582, 83, 84syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
86 ltanqg 7399 . . 3 |- ( ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
8779, 81, 85, 86syl3anc 1238 . 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
8877, 87mpbid 147 1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3130   <.cop 3596   class class class wbr 4004   suc csuc 4366   omcom 4590   X. cxp 4625  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411   +o coa 6414   [cec 6533   /.cqs 6534   N.cnpi 7271   .N cmi 7273   <N clti 7274   ~Q ceq 7278   Q.cnq 7279   +Q cplq 7281   .Q cmq 7282   <Q cltq 7284   P.cnp 7290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-ltnqqs 7352  df-inp 7465
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7495
  Copyright terms: Public domain W3C validator