ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Unicode version

Theorem prarloclemlt 7527
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7537. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6550 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
2 nnacl 6509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  om )  -> 
( y  +o  2o )  e.  om )
31, 2mpan2 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
4 nnaword1 6542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +o  2o )  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  (
y  +o  2o ) 
C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
53, 4sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  2o )  C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
6 1oex 6453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  _V
76sucid 4438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  suc  1o
8 df-2o 6446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
97, 8eleqtrri 2265 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  2o
10 nnaordi 6537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  e.  2o  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
111, 10mpan 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
1312adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
145, 13sseldd 3171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
1514ancoms 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
16 1pi 7349 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  N.
17 nnppipi 7377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +o  1o )  e.  N. )
1816, 17mpan2 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  N. )
1918adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  N. )
20 o1p1e2 6497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  =  2o
21 1onn 6549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  om
22 nnppipi 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +o  1o )  e.  N. )
2321, 16, 22mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  e. 
N.
2420, 23eqeltrri 2263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  N.
25 nnppipi 7377 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  N. )  -> 
( y  +o  2o )  e.  N. )
2624, 25mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  N. )
27 pinn 7343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  2o )  e.  N.  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
29 nnacom 6513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
3028, 29sylan2 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
31 nnppipi 7377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  N. )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3226, 31sylan2 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3330, 32eqeltrrd 2267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )
34 ltpiord 7353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  (
( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3519, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3615, 35mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
37 mulidpi 7352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  N.  ->  (
( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
39 mulcompig 7365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
4033, 16, 39sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
41 mulidpi 7352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N.  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
4340, 42eqtr3d 2224 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4438, 43breq12d 4034 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )  <->  ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
4536, 44mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
46 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
47 ordpipqqs 7408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4816, 47mpanl2 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4916, 48mpanr2 438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5018, 49sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5146, 33, 50syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5245, 51mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5352adantlr 477 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
54 opelxpi 4679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
5519, 16, 54sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
56 enqex 7394 . . . . . . . . 9  |-  ~Q  e.  _V
5756ecelqsi 6619 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
5855, 57syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
59 df-nqqs 7382 . . . . . . 7  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
6058, 59eleqtrrdi 2283 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6160adantlr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
62 opelxpi 4679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6333, 16, 62sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6456ecelqsi 6619 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
6563, 64syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
6665, 59eleqtrrdi 2283 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6766adantlr 477 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
68 simplr3 1043 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  P  e.  Q. )
69 ltmnqg 7435 . . . . 5  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7061, 67, 68, 69syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7153, 70mpbid 147 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
72 mulcomnqg 7417 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
7368, 61, 72syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
74 mulcomnqg 7417 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7568, 67, 74syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7673, 75breq12d 4034 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( P  .Q  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
7771, 76mpbid 147 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
78 mulclnq 7410 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
7961, 68, 78syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
80 mulclnq 7410 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
8167, 68, 80syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
82 simplr1 1041 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. L ,  U >.  e. 
P. )
83 simplr2 1042 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  L )
84 elprnql 7515 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L )  ->  A  e.  Q. )
8582, 83, 84syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  Q. )
86 ltanqg 7434 . . 3  |-  ( ( ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8779, 81, 85, 86syl3anc 1249 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8877, 87mpbid 147 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    C_ wss 3144   <.cop 3613   class class class wbr 4021   suc csuc 4386   omcom 4610    X. cxp 4645  (class class class)co 5900   1oc1o 6438   2oc2o 6439    +o coa 6442   [cec 6561   /.cqs 6562   N.cnpi 7306    .N cmi 7308    <N clti 7309    ~Q ceq 7313   Q.cnq 7314    +Q cplq 7316    .Q cmq 7317    <Q cltq 7319   P.cnp 7325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-eprel 4310  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-1o 6445  df-2o 6446  df-oadd 6449  df-omul 6450  df-er 6563  df-ec 6565  df-qs 6569  df-ni 7338  df-pli 7339  df-mi 7340  df-lti 7341  df-plpq 7378  df-mpq 7379  df-enq 7381  df-nqqs 7382  df-plqqs 7383  df-mqqs 7384  df-ltnqqs 7387  df-inp 7500
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7530
  Copyright terms: Public domain W3C validator