Theorem prarloclemlt 7808

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7818. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemlt	|- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )

Proof of Theorem prarloclemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6754	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
2		nnacl 6713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
3	1, 2	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
4		nnaword1 6746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y +o 2o ) e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
5	3, 4	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6		1oex 6655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. _V
7	6	sucid 4538	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. suc 1o
8		df-2o 6648	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
9	7, 8	eleqtrri 2308	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
10		nnaordi 6741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
11	1, 10	mpan 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
14	5, 13	sseldd 3239	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
16		1pi 7630	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. N.
17		nnppipi 7658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
18	16, 17	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. N. )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
20		o1p1e2 6701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) = 2o
21		1onn 6753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. om
22		nnppipi 7658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +o 1o ) e. N. )
23	21, 16, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) e. N.
24	20, 23	eqeltrri 2306	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. N.
25		nnppipi 7658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ 2o e. N. ) -> ( y +o 2o ) e. N. )
26	24, 25	mpan2 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. N. )
27		pinn 7624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o 2o ) e. N. -> ( y +o 2o ) e. om )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
29		nnacom 6717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
31		nnppipi 7658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. N. ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
32	26, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
33	30, 32	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. )
34		ltpiord 7634	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
35	19, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
36	15, 35	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) )
37		mulidpi 7633	. . . . . . . . 9 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
39		mulcompig 7646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
40	33, 16, 39	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
41		mulidpi 7633	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
43	40, 42	eqtr3d 2267	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
44	38, 43	breq12d 4122	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) <-> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
45	36, 44	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
46		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> y e. om )
47		ordpipqqs 7689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
48	16, 47	mpanl2 435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
49	16, 48	mpanr2 438	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
50	18, 49	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
51	46, 33, 50	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
52	45, 51	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
53	52	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
54		opelxpi 4781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
55	19, 16, 54	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
56		enqex 7675	. . . . . . . . 9 |- ~Q e. _V
57	56	ecelqsi 6823	. . . . . . . 8 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
59		df-nqqs 7663	. . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2326	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
61	60	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
62		opelxpi 4781	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
63	33, 16, 62	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
64	56	ecelqsi 6823	. . . . . . . 8 |- ( <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
66	65, 59	eleqtrrdi 2326	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
67	66	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
68		simplr3 1068	. . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
69		ltmnqg 7716	. . . . 5 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
71	53, 70	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) )
72		mulcomnqg 7698	. . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
73	68, 61, 72	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
74		mulcomnqg 7698	. . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
75	68, 67, 74	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
76	73, 75	breq12d 4122	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) <-> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
77	71, 76	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
78		mulclnq 7691	. . . 4 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
79	61, 68, 78	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
80		mulclnq 7691	. . . 4 |- ( ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
81	67, 68, 80	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
82		simplr1 1066	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
83		simplr2 1067	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
84		elprnql 7796	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
86		ltanqg 7715	. . 3 |- ( ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
88	77, 87	mpbid 147	1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   <.cop 3692   class class class wbr 4109   suc csuc 4486   omcom 4712   X. cxp 4747  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   +o coa 6644   [cec 6765   /.cqs 6766   N.cnpi 7587   .N cmi 7589   <N clti 7590   ~Q ceq 7594   Q.cnq 7595   +Q cplq 7597   .Q cmq 7598   <Q cltq 7600   P.cnp 7606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-ltnqqs 7668  df-inp 7781

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7811