ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Unicode version

Theorem prarloclemlt 7149
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7159. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
2 nnacl 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  om )  -> 
( y  +o  2o )  e.  om )
31, 2mpan2 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
4 nnaword1 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +o  2o )  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  (
y  +o  2o ) 
C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
53, 4sylan 278 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  2o )  C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
6 1oex 6227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  _V
76sucid 4268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  suc  1o
8 df-2o 6220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
97, 8eleqtrri 2170 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  2o
10 nnaordi 6307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  e.  2o  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
111, 10mpan 416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
1312adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
145, 13sseldd 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
1514ancoms 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
16 1pi 6971 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  N.
17 nnppipi 6999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +o  1o )  e.  N. )
1816, 17mpan2 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  N. )
1918adantl 272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  N. )
20 o1p1e2 6269 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  =  2o
21 1onn 6319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  om
22 nnppipi 6999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +o  1o )  e.  N. )
2321, 16, 22mp2an 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  e. 
N.
2420, 23eqeltrri 2168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  N.
25 nnppipi 6999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  N. )  -> 
( y  +o  2o )  e.  N. )
2624, 25mpan2 417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  N. )
27 pinn 6965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  2o )  e.  N.  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
29 nnacom 6285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
3028, 29sylan2 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
31 nnppipi 6999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  N. )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3226, 31sylan2 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3330, 32eqeltrrd 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )
34 ltpiord 6975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  (
( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3519, 33, 34syl2anc 404 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3615, 35mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
37 mulidpi 6974 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  N.  ->  (
( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
39 mulcompig 6987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
4033, 16, 39sylancl 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
41 mulidpi 6974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N.  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
4340, 42eqtr3d 2129 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4438, 43breq12d 3880 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )  <->  ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
4536, 44mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
46 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
47 ordpipqqs 7030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4816, 47mpanl2 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4916, 48mpanr2 430 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5018, 49sylan 278 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5146, 33, 50syl2anc 404 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5245, 51mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5352adantlr 462 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
54 opelxpi 4499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
5519, 16, 54sylancl 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
56 enqex 7016 . . . . . . . . 9  |-  ~Q  e.  _V
5756ecelqsi 6386 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
5855, 57syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
59 df-nqqs 7004 . . . . . . 7  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
6058, 59syl6eleqr 2188 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6160adantlr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
62 opelxpi 4499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6333, 16, 62sylancl 405 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6456ecelqsi 6386 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
6563, 64syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
6665, 59syl6eleqr 2188 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6766adantlr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
68 simplr3 990 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  P  e.  Q. )
69 ltmnqg 7057 . . . . 5  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7061, 67, 68, 69syl3anc 1181 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7153, 70mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
72 mulcomnqg 7039 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
7368, 61, 72syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
74 mulcomnqg 7039 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7568, 67, 74syl2anc 404 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7673, 75breq12d 3880 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( P  .Q  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
7771, 76mpbid 146 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
78 mulclnq 7032 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
7961, 68, 78syl2anc 404 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
80 mulclnq 7032 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
8167, 68, 80syl2anc 404 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
82 simplr1 988 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. L ,  U >.  e. 
P. )
83 simplr2 989 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  L )
84 elprnql 7137 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L )  ->  A  e.  Q. )
8582, 83, 84syl2anc 404 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  Q. )
86 ltanqg 7056 . . 3  |-  ( ( ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8779, 81, 85, 86syl3anc 1181 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8877, 87mpbid 146 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445    C_ wss 3013   <.cop 3469   class class class wbr 3867   suc csuc 4216   omcom 4433    X. cxp 4465  (class class class)co 5690   1oc1o 6212   2oc2o 6213    +o coa 6216   [cec 6330   /.cqs 6331   N.cnpi 6928    .N cmi 6930    <N clti 6931    ~Q ceq 6935   Q.cnq 6936    +Q cplq 6938    .Q cmq 6939    <Q cltq 6941   P.cnp 6947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-2o 6220  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7152
  Copyright terms: Public domain W3C validator