ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Unicode version
Theorem prarloclemlt 7680
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7690. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6667 . . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
2 nnacl 6626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
31, 2mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
4 nnaword1 6659 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y +o 2o ) e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
53, 4sylan 283 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6 1oex 6570 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. _V
76sucid 4508 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. suc 1o
8 df-2o 6563 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
97, 8eleqtrri 2305 . . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
10 nnaordi 6654 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
111, 10mpan 424 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
1312adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
145, 13sseldd 3225 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
1514ancoms 268 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
16 1pi 7502 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. N.
17 nnppipi 7530 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
1816, 17mpan2 425 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. N. )
1918adantl 277 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
20 o1p1e2 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) = 2o
21 1onn 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. om
22 nnppipi 7530 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +o 1o ) e. N. )
2321, 16, 22mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) e. N.
2420, 23eqeltrri 2303 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. N.
25 nnppipi 7530 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ 2o e. N. ) -> ( y +o 2o ) e. N. )
2624, 25mpan2 425 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. N. )
27 pinn 7496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o 2o ) e. N. -> ( y +o 2o ) e. om )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
29 nnacom 6630 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
3028, 29sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
31 nnppipi 7530 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. N. ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
3226, 31sylan2 286 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
3330, 32eqeltrrd 2307 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. )
34 ltpiord 7506 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
3519, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
3615, 35mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) )
37 mulidpi 7505 . . . . . . . . 9 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
39 mulcompig 7518 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
4033, 16, 39sylancl 413 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
41 mulidpi 7505 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
4340, 42eqtr3d 2264 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
4438, 43breq12d 4096 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) <-> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
4536, 44mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
46 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> y e. om )
47 ordpipqqs 7561 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
4816, 47mpanl2 435 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
4916, 48mpanr2 438 . . . . . . . 8 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
5018, 49sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
5146, 33, 50syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
5245, 51mpbird 167 . . . . 5 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
5352adantlr 477 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
54 opelxpi 4751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
5519, 16, 54sylancl 413 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
56 enqex 7547 . . . . . . . . 9 |- ~Q e. _V
5756ecelqsi 6736 . . . . . . . 8 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
5855, 57syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
59 df-nqqs 7535 . . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
6058, 59eleqtrrdi 2323 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
6160adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
62 opelxpi 4751 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
6333, 16, 62sylancl 413 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
6456ecelqsi 6736 . . . . . . . 8 |- ( <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
6665, 59eleqtrrdi 2323 . . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
6766adantlr 477 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
68 simplr3 1065 . . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
69 ltmnqg 7588 . . . . 5 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
7061, 67, 68, 69syl3anc 1271 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
7153, 70mpbid 147 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) )
72 mulcomnqg 7570 . . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
7368, 61, 72syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
74 mulcomnqg 7570 . . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
7568, 67, 74syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
7673, 75breq12d 4096 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) <-> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
7771, 76mpbid 147 . 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
78 mulclnq 7563 . . . 4 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
7961, 68, 78syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
80 mulclnq 7563 . . . 4 |- ( ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
8167, 68, 80syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
82 simplr1 1063 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
83 simplr2 1064 . . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
84 elprnql 7668 . . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
8582, 83, 84syl2anc 411 . . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
86 ltanqg 7587 . . 3 |- ( ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
8779, 81, 85, 86syl3anc 1271 . 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
8877, 87mpbid 147 1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   <.cop 3669   class class class wbr 4083   suc csuc 4456   omcom 4682   X. cxp 4717  (class class class)co 6001   1oc1o 6555   2oc2o 6556   +o coa 6559   [cec 6678   /.cqs 6679   N.cnpi 7459   .N cmi 7461   <N clti 7462   ~Q ceq 7466   Q.cnq 7467   +Q cplq 7469   .Q cmq 7470   <Q cltq 7472   P.cnp 7478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-ltnqqs 7540  df-inp 7653
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7683
  Copyright terms: Public domain W3C validator