Theorem prarloclemlt 7860

Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7870. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prarloclemlt	|- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )

Proof of Theorem prarloclemlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2onn 6794	. . . . . . . . . . . 12 |- 2o e. om
2		nnacl 6753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. om /\ 2o e. om ) -> ( y +o 2o ) e. om )
3	1, 2	mpan2 429	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
4		nnaword1 6786	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y +o 2o ) e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
5	3, 4	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 2o ) C_ ( ( y +o 2o ) +o X ) )
6		1oex 6695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. _V
7	6	sucid 4562	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. suc 1o
8		df-2o 6688	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o = suc 1o
9	7, 8	eleqtrri 2314	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
10		nnaordi 6781	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2o e. om /\ y e. om ) -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
11	1, 10	mpan 428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( 1o e. 2o -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) ) )
12	9, 11	mpi 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( y +o 2o ) )
14	5, 13	sseldd 3249	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. om /\ X e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
15	14	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) )
16		1pi 7682	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. N.
17		nnppipi 7710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. om /\ 1o e. N. ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
18	16, 17	mpan2 429	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y +o 1o ) e. N. )
19	18	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) e. N. )
20		o1p1e2 6741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) = 2o
21		1onn 6793	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. om
22		nnppipi 7710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1o e. om /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +o 1o ) e. N. )
23	21, 16, 22	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o +o 1o ) e. N.
24	20, 23	eqeltrri 2312	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2o e. N.
25		nnppipi 7710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. om /\ 2o e. N. ) -> ( y +o 2o ) e. N. )
26	24, 25	mpan2 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. N. )
27		pinn 7676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y +o 2o ) e. N. -> ( y +o 2o ) e. om )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y +o 2o ) e. om )
29		nnacom 6757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
30	28, 29	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
31		nnppipi 7710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. om /\ ( y +o 2o ) e. N. ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
32	26, 31	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( X +o ( y +o 2o ) ) e. N. )
33	30, 32	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. )
34		ltpiord 7686	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
35	19, 33, 34	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) <-> ( y +o 1o ) e. ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
36	15, 35	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) )
37		mulidpi 7685	. . . . . . . . 9 |- ( ( y +o 1o ) e. N. -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
38	19, 37	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) = ( y +o 1o ) )
39		mulcompig 7698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
40	33, 16, 39	sylancl 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
41		mulidpi 7685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
42	33, 41	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 2o ) +o X ) .N 1o ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
43	40, 42	eqtr3d 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) = ( ( y +o 2o ) +o X ) )
44	38, 43	breq12d 4143	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) <-> ( y +o 1o ) <N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
45	36, 44	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) )
46		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> y e. om )
47		ordpipqqs 7741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
48	16, 47	mpanl2 439	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
49	16, 48	mpanr2 442	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
50	18, 49	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( y e. om /\ ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
51	46, 33, 50	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( ( y +o 1o ) .N 1o ) <N ( 1o .N ( ( y +o 2o ) +o X ) ) ) )
52	45, 51	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
53	52	adantlr 481	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q )
54		opelxpi 4806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y +o 1o ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
55	19, 16, 54	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
56		enqex 7727	. . . . . . . . 9 |- ~Q e. _V
57	56	ecelqsi 6863	. . . . . . . 8 |- ( <. ( y +o 1o ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
58	55, 57	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
59		df-nqqs 7715	. . . . . . 7 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
60	58, 59	eleqtrrdi 2332	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
61	60	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
62		opelxpi 4806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y +o 2o ) +o X ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
63	33, 16, 62	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) )
64	56	ecelqsi 6863	. . . . . . . 8 |- ( <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
66	65, 59	eleqtrrdi 2332	. . . . . 6 |- ( ( X e. om /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
67	66	adantlr 481	. . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. )
68		simplr3 1072	. . . . 5 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> P e. Q. )
69		ltmnqg 7768	. . . . 5 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
70	61, 67, 68, 69	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q <-> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) ) )
71	53, 70	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) )
72		mulcomnqg 7750	. . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
73	68, 61, 72	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
74		mulcomnqg 7750	. . . . 5 |- ( ( P e. Q. /\ [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
75	68, 67, 74	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) = ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
76	73, 75	breq12d 4143	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( P .Q [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q ) <Q ( P .Q [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q ) <-> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )
77	71, 76	mpbid 147	. 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) )
78		mulclnq 7743	. . . 4 |- ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
79	61, 68, 78	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
80		mulclnq 7743	. . . 4 |- ( ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
81	67, 68, 80	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. )
82		simplr1 1070	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> <. L , U >. e. P. )
83		simplr2 1071	. . . 4 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. L )
84		elprnql 7848	. . . 4 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L ) -> A e. Q. )
85	82, 83, 84	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> A e. Q. )
86		ltanqg 7767	. . 3 |- ( ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
87	79, 81, 85, 86	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) <-> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) ) )
88	77, 87	mpbid 147	1 |- ( ( ( X e. om /\ ( <. L , U >. e. P. /\ A e. L /\ P e. Q. ) ) /\ y e. om ) -> ( A +Q ( [ <. ( y +o 1o ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) <Q ( A +Q ( [ <. ( ( y +o 2o ) +o X ) , 1o >. ] ~Q .Q P ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   <.cop 3712   class class class wbr 4130   suc csuc 4510   omcom 4737   X. cxp 4772  (class class class)co 6085   1oc1o 6680   2oc2o 6681   +o coa 6684   [cec 6805   /.cqs 6806   N.cnpi 7639   .N cmi 7641   <N clti 7642   ~Q ceq 7646   Q.cnq 7647   +Q cplq 7649   .Q cmq 7650   <Q cltq 7652   P.cnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-ltnqqs 7720  df-inp 7833

This theorem is used by:  prarloclem3step  7863