ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prarloclemlt Unicode version

Theorem prarloclemlt 7308
Description: Two possible ways of contracting an interval which straddles a Dedekind cut. Lemma for prarloc 7318. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
prarloclemlt  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )

Proof of Theorem prarloclemlt
StepHypRef Expression
1 2onn 6417 . . . . . . . . . . . 12  |-  2o  e.  om
2 nnacl 6376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  om )  -> 
( y  +o  2o )  e.  om )
31, 2mpan2 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
4 nnaword1 6409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  +o  2o )  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  (
y  +o  2o ) 
C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
53, 4sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  2o )  C_  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
6 1oex 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  _V
76sucid 4339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1o  e.  suc  1o
8 df-2o 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  =  suc  1o
97, 8eleqtrri 2215 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  2o
10 nnaordi 6404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2o  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  e.  2o  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
111, 10mpan 420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  ( 1o  e.  2o  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) ) )
129, 11mpi 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
1312adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( y  +o  2o ) )
145, 13sseldd 3098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  X  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
1514ancoms 266 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
16 1pi 7130 . . . . . . . . . . 11  |-  1o  e.  N.
17 nnppipi 7158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +o  1o )  e.  N. )
1816, 17mpan2 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  1o )  e.  N. )
1918adantl 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  e.  N. )
20 o1p1e2 6364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  =  2o
21 1onn 6416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  e.  om
22 nnppipi 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  om  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +o  1o )  e.  N. )
2321, 16, 22mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
+o  1o )  e. 
N.
2420, 23eqeltrri 2213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2o  e.  N.
25 nnppipi 7158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  om  /\  2o  e.  N. )  -> 
( y  +o  2o )  e.  N. )
2624, 25mpan2 421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  N. )
27 pinn 7124 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  +o  2o )  e.  N.  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  om  ->  (
y  +o  2o )  e.  om )
29 nnacom 6380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
3028, 29sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
31 nnppipi 7158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  om  /\  ( y  +o  2o )  e.  N. )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3226, 31sylan2 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( X  +o  (
y  +o  2o ) )  e.  N. )
3330, 32eqeltrrd 2217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )
34 ltpiord 7134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  (
( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3519, 33, 34syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X )  <->  ( y  +o  1o )  e.  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
3615, 35mpbird 166 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( y  +o  1o )  <N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
37 mulidpi 7133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +o  1o )  e.  N.  ->  (
( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
3819, 37syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
39 mulcompig 7146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
4033, 16, 39sylancl 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
41 mulidpi 7133 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N.  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4233, 41syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  .N  1o )  =  ( (
y  +o  2o )  +o  X ) )
4340, 42eqtr3d 2174 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) )  =  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )
4438, 43breq12d 3942 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X ) )  <->  ( y  +o  1o )  <N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) )
4536, 44mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( y  +o  1o )  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ) )
46 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  y  e.  om )
47 ordpipqqs 7189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( ( y  +o  2o )  +o  X )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4816, 47mpanl2 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
4916, 48mpanr2 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  (
( y  +o  2o )  +o  X )  e. 
N. )  ->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5018, 49sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5146, 33, 50syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( (
y  +o  1o )  .N  1o )  <N 
( 1o  .N  (
( y  +o  2o )  +o  X ) ) ) )
5245, 51mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
5352adantlr 468 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  )
54 opelxpi 4571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  +o  1o )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. (
y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
5519, 16, 54sylancl 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )
)
56 enqex 7175 . . . . . . . . 9  |-  ~Q  e.  _V
5756ecelqsi 6483 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( y  +o  1o ) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
5855, 57syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
59 df-nqqs 7163 . . . . . . 7  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
6058, 59eleqtrrdi 2233 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6160adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
62 opelxpi 4571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  +o  2o )  +o  X
)  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6333, 16, 62sylancl 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  -> 
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
6456ecelqsi 6483 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
)
6563, 64syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  ) )
6665, 59eleqtrrdi 2233 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6766adantlr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
68 simplr3 1025 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  P  e.  Q. )
69 ltmnqg 7216 . . . . 5  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7061, 67, 68, 69syl3anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) ) )
7153, 70mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  ) )
72 mulcomnqg 7198 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
7368, 61, 72syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) )
74 mulcomnqg 7198 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7568, 67, 74syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( P  .Q  [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  =  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
7673, 75breq12d 3942 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( P  .Q  [
<. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( P  .Q  [
<. ( ( y  +o  2o )  +o  X
) ,  1o >. ]  ~Q  )  <->  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) ) )
7771, 76mpbid 146 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )
78 mulclnq 7191 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
7961, 68, 78syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
80 mulclnq 7191 . . . 4  |-  ( ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
8167, 68, 80syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q. )
82 simplr1 1023 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  -> 
<. L ,  U >.  e. 
P. )
83 simplr2 1024 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  L )
84 elprnql 7296 . . . 4  |-  ( (
<. L ,  U >.  e. 
P.  /\  A  e.  L )  ->  A  e.  Q. )
8582, 83, 84syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  A  e.  Q. )
86 ltanqg 7215 . . 3  |-  ( ( ( [ <. (
y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  ( [ <. (
( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8779, 81, 85, 86syl3anc 1216 . 2  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P )  <Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
)  <->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) ) )
8877, 87mpbid 146 1  |-  ( ( ( X  e.  om  /\  ( <. L ,  U >.  e.  P.  /\  A  e.  L  /\  P  e. 
Q. ) )  /\  y  e.  om )  ->  ( A  +Q  ( [ <. ( y  +o  1o ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P
) )  <Q  ( A  +Q  ( [ <. ( ( y  +o  2o )  +o  X ) ,  1o >. ]  ~Q  .Q  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480    C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   suc csuc 4287   omcom 4504    X. cxp 4537  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307    +o coa 6310   [cec 6427   /.cqs 6428   N.cnpi 7087    .N cmi 7089    <N clti 7090    ~Q ceq 7094   Q.cnq 7095    +Q cplq 7097    .Q cmq 7098    <Q cltq 7100   P.cnp 7106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-ltnqqs 7168  df-inp 7281
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7311
  Copyright terms: Public domain W3C validator