ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Unicode version

Theorem 1lt2pi 7356
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6538 . . . . 5  |-  1o  e.  om
2 nna0 6492 . . . . 5  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  +o  (/) )  =  1o )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  =  1o
4 0lt1o 6458 . . . . 5  |-  (/)  e.  1o
5 peano1 4607 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 nnaord 6527 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  1o  e.  om  /\  1o  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o ) ) )
75, 1, 1, 6mp3an 1347 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o 
+o  1o ) )
84, 7mpbi 145 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o )
93, 8eqeltrri 2262 . . 3  |-  1o  e.  ( 1o  +o  1o )
10 1pi 7331 . . . 4  |-  1o  e.  N.
11 addpiord 7332 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
1210, 10, 11mp2an 426 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
139, 12eleqtrri 2264 . 2  |-  1o  e.  ( 1o  +N  1o )
14 addclpi 7343 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
1510, 10, 14mp2an 426 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
16 ltpiord 7335 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( 1o  +N  1o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  ( 1o  +N  1o )  <->  1o  e.  ( 1o  +N  1o ) ) )
1710, 15, 16mp2an 426 . 2  |-  ( 1o 
<N  ( 1o  +N  1o ) 
<->  1o  e.  ( 1o 
+N  1o ) )
1813, 17mpbir 146 1  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2159   (/)c0 3436   class class class wbr 4017   omcom 4603  (class class class)co 5890   1oc1o 6427    +o coa 6431   N.cnpi 7288    +N cpli 7289    <N clti 7291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-eprel 4303  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-1o 6434  df-oadd 6438  df-ni 7320  df-pli 7321  df-lti 7323
This theorem is referenced by:  1lt2nq  7422
  Copyright terms: Public domain W3C validator