Theorem 1lt2pi 7402

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N ( 1o +N 1o )

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6575	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 6529	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> ( 1o +o (/) ) = 1o )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) = 1o
4		0lt1o 6495	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 4627	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 6564	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om ) -> ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) ) )
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1348	. . . . 5 |- ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) )
8	4, 7	mpbi 145	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o )
9	3, 8	eqeltrri 2267	. . 3 |- 1o e. ( 1o +o 1o )
10		1pi 7377	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 7378	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o ) )
12	10, 10, 11	mp2an 426	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o )
13	9, 12	eleqtrri 2269	. 2 |- 1o e. ( 1o +N 1o )
14		addclpi 7389	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) e. N. )
15	10, 10, 14	mp2an 426	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) e. N.
16		ltpiord 7381	. . 3 |- ( ( 1o e. N. /\ ( 1o +N 1o ) e. N. ) -> ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) ) )
17	10, 15, 16	mp2an 426	. 2 |- ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) )
18	13, 17	mpbir 146	1 |- 1o <N ( 1o +N 1o )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   (/)c0 3447   class class class wbr 4030   omcom 4623  (class class class)co 5919   1oc1o 6464   +o coa 6468   N.cnpi 7334   +N cpli 7335   <N clti 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-ni 7366  df-pli 7367  df-lti 7369

This theorem is referenced by:  1lt2nq  7468