Theorem 1lt2pi 6996

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N ( 1o +N 1o )

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6319	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 6275	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> ( 1o +o (/) ) = 1o )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) = 1o
4		0lt1o 6242	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 4437	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 6308	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om ) -> ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) ) )
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1280	. . . . 5 |- ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) )
8	4, 7	mpbi 144	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o )
9	3, 8	eqeltrri 2168	. . 3 |- 1o e. ( 1o +o 1o )
10		1pi 6971	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 6972	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o ) )
12	10, 10, 11	mp2an 418	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o )
13	9, 12	eleqtrri 2170	. 2 |- 1o e. ( 1o +N 1o )
14		addclpi 6983	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) e. N. )
15	10, 10, 14	mp2an 418	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) e. N.
16		ltpiord 6975	. . 3 |- ( ( 1o e. N. /\ ( 1o +N 1o ) e. N. ) -> ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) ) )
17	10, 15, 16	mp2an 418	. 2 |- ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) )
18	13, 17	mpbir 145	1 |- 1o <N ( 1o +N 1o )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1296   e. wcel 1445   (/)c0 3302   class class class wbr 3867   omcom 4433  (class class class)co 5690   1oc1o 6212   +o coa 6216   N.cnpi 6928   +N cpli 6929   <N clti 6931

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-ni 6960  df-pli 6961  df-lti 6963

This theorem is referenced by:  1lt2nq  7062