Theorem 1lt2pi 7341

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N ( 1o +N 1o )

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 6523	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 6477	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> ( 1o +o (/) ) = 1o )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) = 1o
4		0lt1o 6443	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 4595	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 6512	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om ) -> ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) ) )
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1337	. . . . 5 |- ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) )
8	4, 7	mpbi 145	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o )
9	3, 8	eqeltrri 2251	. . 3 |- 1o e. ( 1o +o 1o )
10		1pi 7316	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 7317	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o ) )
12	10, 10, 11	mp2an 426	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o )
13	9, 12	eleqtrri 2253	. 2 |- 1o e. ( 1o +N 1o )
14		addclpi 7328	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) e. N. )
15	10, 10, 14	mp2an 426	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) e. N.
16		ltpiord 7320	. . 3 |- ( ( 1o e. N. /\ ( 1o +N 1o ) e. N. ) -> ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) ) )
17	10, 15, 16	mp2an 426	. 2 |- ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) )
18	13, 17	mpbir 146	1 |- 1o <N ( 1o +N 1o )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   (/)c0 3424   class class class wbr 4005   omcom 4591  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   +o coa 6416   N.cnpi 7273   +N cpli 7274   <N clti 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-ni 7305  df-pli 7306  df-lti 7308

This theorem is referenced by:  1lt2nq  7407