ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2pi Unicode version

Theorem 1lt2pi 7148
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.)
Assertion
Ref Expression
1lt2pi  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )

Proof of Theorem 1lt2pi
StepHypRef Expression
1 1onn 6416 . . . . 5  |-  1o  e.  om
2 nna0 6370 . . . . 5  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( 1o  +o  (/) )  =  1o )
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  =  1o
4 0lt1o 6337 . . . . 5  |-  (/)  e.  1o
5 peano1 4508 . . . . . 6  |-  (/)  e.  om
6 nnaord 6405 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  1o  e.  om  /\  1o  e.  om )  ->  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o ) ) )
75, 1, 1, 6mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  1o  <->  ( 1o  +o  (/) )  e.  ( 1o 
+o  1o ) )
84, 7mpbi 144 . . . 4  |-  ( 1o 
+o  (/) )  e.  ( 1o  +o  1o )
93, 8eqeltrri 2213 . . 3  |-  1o  e.  ( 1o  +o  1o )
10 1pi 7123 . . . 4  |-  1o  e.  N.
11 addpiord 7124 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  =  ( 1o  +o  1o ) )
1210, 10, 11mp2an 422 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  =  ( 1o  +o  1o )
139, 12eleqtrri 2215 . 2  |-  1o  e.  ( 1o  +N  1o )
14 addclpi 7135 . . . 4  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  +N  1o )  e.  N. )
1510, 10, 14mp2an 422 . . 3  |-  ( 1o 
+N  1o )  e. 
N.
16 ltpiord 7127 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  ( 1o  +N  1o )  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  ( 1o  +N  1o )  <->  1o  e.  ( 1o  +N  1o ) ) )
1710, 15, 16mp2an 422 . 2  |-  ( 1o 
<N  ( 1o  +N  1o ) 
<->  1o  e.  ( 1o 
+N  1o ) )
1813, 17mpbir 145 1  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   (/)c0 3363   class class class wbr 3929   omcom 4504  (class class class)co 5774   1oc1o 6306    +o coa 6310   N.cnpi 7080    +N cpli 7081    <N clti 7083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-ni 7112  df-pli 7113  df-lti 7115
This theorem is referenced by:  1lt2nq  7214
  Copyright terms: Public domain W3C validator