Theorem mndplusf 13723

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndplusf.1	|- B = ( Base ` G )
mndplusf.2	|- .+^ = ( +f ` G )

Assertion

Ref	Expression
mndplusf	|- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem mndplusf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 13712	. 2 |- ( G e. Mnd -> G e. Mgm )
2		mndplusf.1	. . 3 |- B = ( Base ` G )
3		mndplusf.2	. . 3 |- .+^ = ( +f ` G )
4	2, 3	mgmplusf 13663	. 2 |- ( G e. Mgm -> .+^ : ( B X. B ) --> B )
5	1, 4	syl 14	1 |- ( G e. Mnd -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   X. cxp 4767   -->wf 5368   ` cfv 5372   Basecbs 13330   +fcplusf 13650  Mgmcmgm 13651   Mndcmnd 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-plusf 13652  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707

This theorem is referenced by:  mndpfo  13728  grpplusf  13797