Theorem mndplusf 13017

Description: The group addition operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 3-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndplusf.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndplusf.2	⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndplusf	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Proof of Theorem mndplusf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndmgm 13006	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Mgm)
2		mndplusf.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndplusf.2	. . 3 ⊢ ⨣ = (+𝑓‘𝐺)
4	2, 3	mgmplusf 12952	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mgm → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ⨣ :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   × cxp 4658  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  Basecbs 12621  +_𝑓cplusf 12939  Mgmcmgm 12940  Mndcmnd 13000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-plusf 12941  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001

This theorem is referenced by:  mndpfo  13022  grpplusf  13090