Theorem mgmplusf 13663

Description: The group addition function of a magma is a function into its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revisd by AV, 28-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmplusf.1	|- B = ( Base ` M )
mgmplusf.2	|- .+^ = ( +f ` M )

Assertion

Ref	Expression
mgmplusf	|- ( M e. Mgm -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem mgmplusf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmplusf.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` M )
2		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
3	1, 2	mgmcl 13656	. . . . 5 |- ( ( M e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
4	3	3expb 1235	. . . 4 |- ( ( M e. Mgm /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
5	4	ralrimivva 2632	. . 3 |- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
6		eqid 2238	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) )
7	6	fmpo 6427	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B )
8	5, 7	sylib 122	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B )
9		mgmplusf.2	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` M )
10	1, 2, 9	plusffvalg 13659	. . 3 |- ( M e. Mgm -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) )
11	10	feq1d 5515	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( .+^ : ( B X. B ) --> B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B ) )
12	8, 11	mpbird 167	1 |- ( M e. Mgm -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   X. cxp 4767   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   +fcplusf 13650  Mgmcmgm 13651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1re 8263  ax-addrcl 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-inn 9284  df-2 9342  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-plusf 13652  df-mgm 13653

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  13665  mndplusf  13723