Theorem mgmplusf 13529

Description: The group addition function of a magma is a function into its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revisd by AV, 28-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmplusf.1	|- B = ( Base ` M )
mgmplusf.2	|- .+^ = ( +f ` M )

Assertion

Ref	Expression
mgmplusf	|- ( M e. Mgm -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem mgmplusf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmplusf.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` M )
2		eqid 2231	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
3	1, 2	mgmcl 13522	. . . . 5 |- ( ( M e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
4	3	3expb 1231	. . . 4 |- ( ( M e. Mgm /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
5	4	ralrimivva 2615	. . 3 |- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
6		eqid 2231	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) )
7	6	fmpo 6375	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B )
8	5, 7	sylib 122	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B )
9		mgmplusf.2	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` M )
10	1, 2, 9	plusffvalg 13525	. . 3 |- ( M e. Mgm -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) )
11	10	feq1d 5476	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( .+^ : ( B X. B ) --> B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B ) )
12	8, 11	mpbird 167	1 |- ( M e. Mgm -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   X. cxp 4729   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   +fcplusf 13516  Mgmcmgm 13517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-plusf 13518  df-mgm 13519

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  13531  mndplusf  13596