Theorem mgmplusf 12952

Description: The group addition function of a magma is a function into its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revisd by AV, 28-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgmplusf.1	|- B = ( Base ` M )
mgmplusf.2	|- .+^ = ( +f ` M )

Assertion

Ref	Expression
mgmplusf	|- ( M e. Mgm -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Proof of Theorem mgmplusf

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmplusf.1	. . . . . 6 |- B = ( Base ` M )
2		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
3	1, 2	mgmcl 12945	. . . . 5 |- ( ( M e. Mgm /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
4	3	3expb 1206	. . . 4 |- ( ( M e. Mgm /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
5	4	ralrimivva 2576	. . 3 |- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B )
6		eqid 2193	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) )
7	6	fmpo 6256	. . 3 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x ( +g ` M ) y ) e. B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B )
8	5, 7	sylib 122	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B )
9		mgmplusf.2	. . . 4 |- .+^ = ( +f ` M )
10	1, 2, 9	plusffvalg 12948	. . 3 |- ( M e. Mgm -> .+^ = ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) )
11	10	feq1d 5391	. 2 |- ( M e. Mgm -> ( .+^ : ( B X. B ) --> B <-> ( x e. B , y e. B |-> ( x ( +g ` M ) y ) ) : ( B X. B ) --> B ) )
12	8, 11	mpbird 167	1 |- ( M e. Mgm -> .+^ : ( B X. B ) --> B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   X. cxp 4658   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   +fcplusf 12939  Mgmcmgm 12940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-plusf 12941  df-mgm 12942

This theorem is referenced by:  mgmb1mgm1  12954  mndplusf  13017