Theorem fnovim 6028

Description: Representation of a function in terms of its values. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovim	|- ( F Fn ( A X. B ) -> F = ( x e. A , y e. B |-> ( x F y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y

Proof of Theorem fnovim

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffn5im 5603	. 2 |- ( F Fn ( A X. B ) -> F = ( z e. ( A X. B ) |-> ( F ` z ) ) )
2		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` z ) = ( F ` <. x , y >. ) )
3		df-ov 5922	. . . . 5 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
4	2, 3	eqtr4di 2244	. . . 4 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` z ) = ( x F y ) )
5	4	mpompt 6011	. . 3 |- ( z e. ( A X. B ) |-> ( F ` z ) ) = ( x e. A , y e. B |-> ( x F y ) )
6	5	eqeq2i 2204	. 2 |- ( F = ( z e. ( A X. B ) |-> ( F ` z ) ) <-> F = ( x e. A , y e. B |-> ( x F y ) ) )
7	1, 6	sylib 122	1 |- ( F Fn ( A X. B ) -> F = ( x e. A , y e. B |-> ( x F y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   <.cop 3622   |-> cmpt 4091   X. cxp 4658   Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924

This theorem is referenced by:  mapxpen  6906  dfioo2  10043  plusfeqg  12950  scafeqg  13807  cnfldadd  14061  cnfldmul  14063  cnfldsub  14074  cnmpt22f  14474  cnmptcom  14477  bdxmet  14680