Theorem ominf 7046

Description: The set of natural numbers is not finite. Although we supply this theorem because we can, the more natural way to express " om is infinite" is om ~<_ om which is an instance of domrefg 6908. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	|- -. om e. Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4682	. 2 |- om e. _V
2		domrefg 6908	. 2 |- ( om e. _V -> om ~<_ om )
3		infnfi 7045	. 2 |- ( om ~<_ om -> -. om e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2b 8	1 |- -. om e. Fin

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4082   omcom 4679   ~<_ cdom 6876   Fincfn 6877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-er 6670  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880

This theorem is referenced by:  inffiexmid  7056