Theorem ominf 7128

Description: The set of natural numbers is not finite. Although we supply this theorem because we can, the more natural way to express " om is infinite" is om ~<_ om which is an instance of domrefg 6983. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	|- -. om e. Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4697	. 2 |- om e. _V
2		domrefg 6983	. 2 |- ( om e. _V -> om ~<_ om )
3		infnfi 7127	. 2 |- ( om ~<_ om -> -. om e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2b 8	1 |- -. om e. Fin

Syntax hints:   -. wn 3   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   omcom 4694   ~<_ cdom 6951   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  inffiexmid  7141