ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  inffiexmid Unicode version

Theorem inffiexmid 6574
Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
inffiexmid.1  |-  ( x  e.  Fin  \/  om  ~<_  x )
Assertion
Ref Expression
inffiexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Distinct variable group:    ph, x

Proof of Theorem inffiexmid
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 4381 . . . . 5  |-  om  e.  _V
21rabex 3958 . . . 4  |-  { y  e.  om  |  ph }  e.  _V
3 eleq1 2147 . . . . 5  |-  ( x  =  { y  e. 
om  |  ph }  ->  ( x  e.  Fin  <->  {
y  e.  om  |  ph }  e.  Fin )
)
4 breq2 3824 . . . . 5  |-  ( x  =  { y  e. 
om  |  ph }  ->  ( om  ~<_  x  <->  om  ~<_  { y  e.  om  |  ph } ) )
53, 4orbi12d 740 . . . 4  |-  ( x  =  { y  e. 
om  |  ph }  ->  ( ( x  e. 
Fin  \/  om  ~<_  x )  <-> 
( { y  e. 
om  |  ph }  e.  Fin  \/  om  ~<_  { y  e.  om  |  ph } ) ) )
6 inffiexmid.1 . . . 4  |-  ( x  e.  Fin  \/  om  ~<_  x )
72, 5, 6vtocl 2667 . . 3  |-  ( { y  e.  om  |  ph }  e.  Fin  \/  om  ~<_  { y  e.  om  |  ph } )
8 ominf 6564 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  Fin
9 peano1 4382 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
10 elex2 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  om  ->  E. w  w  e.  om )
119, 10ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  E. w  w  e.  om
12 r19.3rmv 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  w  e.  om  ->  ( ph  <->  A. y  e.  om  ph ) )
1311, 12ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  <->  A. y  e.  om  ph )
14 rabid2 2539 . . . . . . . 8  |-  ( om  =  { y  e. 
om  |  ph }  <->  A. y  e.  om  ph )
1513, 14sylbb2 136 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  om  =  { y  e.  om  |  ph } )
1615eleq1d 2153 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  e.  Fin  <->  {
y  e.  om  |  ph }  e.  Fin )
)
178, 16mtbii 632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  { y  e. 
om  |  ph }  e.  Fin )
1817con2i 590 . . . 4  |-  ( { y  e.  om  |  ph }  e.  Fin  ->  -. 
ph )
19 infm 6572 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  { y  e.  om  |  ph }  ->  E. z 
z  e.  { y  e.  om  |  ph } )
20 biidd 170 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
2120elrab 2762 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { y  e. 
om  |  ph }  <->  ( z  e.  om  /\  ph ) )
2221simprbi 269 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { y  e. 
om  |  ph }  ->  ph )
2322exlimiv 1532 . . . . 5  |-  ( E. z  z  e.  {
y  e.  om  |  ph }  ->  ph )
2419, 23syl 14 . . . 4  |-  ( om  ~<_  { y  e.  om  |  ph }  ->  ph )
2518, 24orim12i 709 . . 3  |-  ( ( { y  e.  om  |  ph }  e.  Fin  \/ 
om  ~<_  { y  e. 
om  |  ph }
)  ->  ( -.  ph  \/  ph ) )
267, 25ax-mp 7 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
27 orcom 680 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
2826, 27mpbi 143 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   A.wral 2355   {crab 2359   (/)c0 3275   class class class wbr 3820   omcom 4378    ~<_ cdom 6408   Fincfn 6409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-er 6244  df-en 6410  df-dom 6411  df-fin 6412
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator