Theorem inffiexmid 6844

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	|- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4550	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	rabex 4108	. . . 4 |- { y e. om | ph } e. _V
3		eleq1 2220	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( x e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
4		breq2 3969	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ { y e. om | ph } ) )
5	3, 4	orbi12d 783	. . . 4 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( ( x e. Fin \/ om ~<_ x ) <-> ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) ) )
6		inffiexmid.1	. . . 4 |- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )
7	2, 5, 6	vtocl 2766	. . 3 |- ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } )
8		ominf 6834	. . . . . 6 |- -. om e. Fin
9		peano1 4551	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
10		elex2 2728	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. om -> E. w w e. om )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. om
12		r19.3rmv 3484	. . . . . . . . 9 |- ( E. w w e. om -> ( ph <-> A. y e. om ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. y e. om ph )
14		rabid2 2633	. . . . . . . 8 |- ( om = { y e. om | ph } <-> A. y e. om ph )
15	13, 14	sylbb2 137	. . . . . . 7 |- ( ph -> om = { y e. om | ph } )
16	15	eleq1d 2226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( om e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
17	8, 16	mtbii 664	. . . . 5 |- ( ph -> -. { y e. om | ph } e. Fin )
18	17	con2i 617	. . . 4 |- ( { y e. om | ph } e. Fin -> -. ph )
19		infm 6842	. . . . 5 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> E. z z e. { y e. om | ph } )
20		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ph ) )
21	20	elrab 2868	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. om | ph } <-> ( z e. om /\ ph ) )
22	21	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. om | ph } -> ph )
23	22	exlimiv 1578	. . . . 5 |- ( E. z z e. { y e. om | ph } -> ph )
24	19, 23	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> ph )
25	18, 24	orim12i 749	. . 3 |- ( ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
26	7, 25	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
27		orcom 718	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
28	26, 27	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   (/)c0 3394   class class class wbr 3965   omcom 4547   ~<_ cdom 6677   Fincfn 6678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-er 6473  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681

This theorem is referenced by: (None)