Theorem inffiexmid 6884

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	|- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4577	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	rabex 4133	. . . 4 |- { y e. om | ph } e. _V
3		eleq1 2233	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( x e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
4		breq2 3993	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ { y e. om | ph } ) )
5	3, 4	orbi12d 788	. . . 4 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( ( x e. Fin \/ om ~<_ x ) <-> ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) ) )
6		inffiexmid.1	. . . 4 |- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )
7	2, 5, 6	vtocl 2784	. . 3 |- ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } )
8		ominf 6874	. . . . . 6 |- -. om e. Fin
9		peano1 4578	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
10		elex2 2746	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. om -> E. w w e. om )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. om
12		r19.3rmv 3505	. . . . . . . . 9 |- ( E. w w e. om -> ( ph <-> A. y e. om ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. y e. om ph )
14		rabid2 2646	. . . . . . . 8 |- ( om = { y e. om | ph } <-> A. y e. om ph )
15	13, 14	sylbb2 137	. . . . . . 7 |- ( ph -> om = { y e. om | ph } )
16	15	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( ph -> ( om e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
17	8, 16	mtbii 669	. . . . 5 |- ( ph -> -. { y e. om | ph } e. Fin )
18	17	con2i 622	. . . 4 |- ( { y e. om | ph } e. Fin -> -. ph )
19		infm 6882	. . . . 5 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> E. z z e. { y e. om | ph } )
20		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ph ) )
21	20	elrab 2886	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. om | ph } <-> ( z e. om /\ ph ) )
22	21	simprbi 273	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. om | ph } -> ph )
23	22	exlimiv 1591	. . . . 5 |- ( E. z z e. { y e. om | ph } -> ph )
24	19, 23	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> ph )
25	18, 24	orim12i 754	. . 3 |- ( ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
26	7, 25	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
27		orcom 723	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
28	26, 27	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   omcom 4574   ~<_ cdom 6717   Fincfn 6718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721

This theorem is referenced by: (None)