Theorem inffiexmid 6753

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	|- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4467	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	rabex 4032	. . . 4 |- { y e. om | ph } e. _V
3		eleq1 2177	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( x e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
4		breq2 3899	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ { y e. om | ph } ) )
5	3, 4	orbi12d 765	. . . 4 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( ( x e. Fin \/ om ~<_ x ) <-> ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) ) )
6		inffiexmid.1	. . . 4 |- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )
7	2, 5, 6	vtocl 2711	. . 3 |- ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } )
8		ominf 6743	. . . . . 6 |- -. om e. Fin
9		peano1 4468	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
10		elex2 2673	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. om -> E. w w e. om )
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. om
12		r19.3rmv 3419	. . . . . . . . 9 |- ( E. w w e. om -> ( ph <-> A. y e. om ph ) )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. y e. om ph )
14		rabid2 2581	. . . . . . . 8 |- ( om = { y e. om | ph } <-> A. y e. om ph )
15	13, 14	sylbb2 137	. . . . . . 7 |- ( ph -> om = { y e. om | ph } )
16	15	eleq1d 2183	. . . . . 6 |- ( ph -> ( om e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
17	8, 16	mtbii 646	. . . . 5 |- ( ph -> -. { y e. om | ph } e. Fin )
18	17	con2i 599	. . . 4 |- ( { y e. om | ph } e. Fin -> -. ph )
19		infm 6751	. . . . 5 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> E. z z e. { y e. om | ph } )
20		biidd 171	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ph ) )
21	20	elrab 2809	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. om | ph } <-> ( z e. om /\ ph ) )
22	21	simprbi 271	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. om | ph } -> ph )
23	22	exlimiv 1560	. . . . 5 |- ( E. z z e. { y e. om | ph } -> ph )
24	19, 23	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> ph )
25	18, 24	orim12i 731	. . 3 |- ( ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
26	7, 25	ax-mp 7	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
27		orcom 700	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
28	26, 27	mpbi 144	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   \/ wo 680   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   A.wral 2390   {crab 2394   (/)c0 3329   class class class wbr 3895   omcom 4464   ~<_ cdom 6587   Fincfn 6588

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-er 6383  df-en 6589  df-dom 6590  df-fin 6591

This theorem is referenced by: (None)