Theorem inffiexmid 6962

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	|- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4625	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	rabex 4173	. . . 4 |- { y e. om | ph } e. _V
3		eleq1 2256	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( x e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
4		breq2 4033	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ { y e. om | ph } ) )
5	3, 4	orbi12d 794	. . . 4 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( ( x e. Fin \/ om ~<_ x ) <-> ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) ) )
6		inffiexmid.1	. . . 4 |- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )
7	2, 5, 6	vtocl 2814	. . 3 |- ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } )
8		ominf 6952	. . . . . 6 |- -. om e. Fin
9		peano1 4626	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
10		elex2 2776	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. om -> E. w w e. om )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. om
12		r19.3rmv 3537	. . . . . . . . 9 |- ( E. w w e. om -> ( ph <-> A. y e. om ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. y e. om ph )
14		rabid2 2671	. . . . . . . 8 |- ( om = { y e. om | ph } <-> A. y e. om ph )
15	13, 14	sylbb2 138	. . . . . . 7 |- ( ph -> om = { y e. om | ph } )
16	15	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( ph -> ( om e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
17	8, 16	mtbii 675	. . . . 5 |- ( ph -> -. { y e. om | ph } e. Fin )
18	17	con2i 628	. . . 4 |- ( { y e. om | ph } e. Fin -> -. ph )
19		infm 6960	. . . . 5 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> E. z z e. { y e. om | ph } )
20		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ph ) )
21	20	elrab 2916	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. om | ph } <-> ( z e. om /\ ph ) )
22	21	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. om | ph } -> ph )
23	22	exlimiv 1609	. . . . 5 |- ( E. z z e. { y e. om | ph } -> ph )
24	19, 23	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> ph )
25	18, 24	orim12i 760	. . 3 |- ( ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
26	7, 25	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
27		orcom 729	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
28	26, 27	mpbi 145	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   {crab 2476   (/)c0 3446   class class class wbr 4029   omcom 4622   ~<_ cdom 6793   Fincfn 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797

This theorem is referenced by: (None)