Theorem inffiexmid 7003

Description: If any given set is either finite or infinite, excluded middle follows. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
inffiexmid.1	|- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )

Assertion

Ref	Expression
inffiexmid	|- ( ph \/ -. ph )

Distinct variable group:   ph, x

Proof of Theorem inffiexmid

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4641	. . . . 5 |- om e. _V
2	1	rabex 4188	. . . 4 |- { y e. om | ph } e. _V
3		eleq1 2268	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( x e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
4		breq2 4048	. . . . 5 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( om ~<_ x <-> om ~<_ { y e. om | ph } ) )
5	3, 4	orbi12d 795	. . . 4 |- ( x = { y e. om | ph } -> ( ( x e. Fin \/ om ~<_ x ) <-> ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) ) )
6		inffiexmid.1	. . . 4 |- ( x e. Fin \/ om ~<_ x )
7	2, 5, 6	vtocl 2827	. . 3 |- ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } )
8		ominf 6993	. . . . . 6 |- -. om e. Fin
9		peano1 4642	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
10		elex2 2788	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e. om -> E. w w e. om )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- E. w w e. om
12		r19.3rmv 3551	. . . . . . . . 9 |- ( E. w w e. om -> ( ph <-> A. y e. om ph ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ph <-> A. y e. om ph )
14		rabid2 2683	. . . . . . . 8 |- ( om = { y e. om | ph } <-> A. y e. om ph )
15	13, 14	sylbb2 138	. . . . . . 7 |- ( ph -> om = { y e. om | ph } )
16	15	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( om e. Fin <-> { y e. om | ph } e. Fin ) )
17	8, 16	mtbii 676	. . . . 5 |- ( ph -> -. { y e. om | ph } e. Fin )
18	17	con2i 628	. . . 4 |- ( { y e. om | ph } e. Fin -> -. ph )
19		infm 7001	. . . . 5 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> E. z z e. { y e. om | ph } )
20		biidd 172	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ph <-> ph ) )
21	20	elrab 2929	. . . . . . 7 |- ( z e. { y e. om | ph } <-> ( z e. om /\ ph ) )
22	21	simprbi 275	. . . . . 6 |- ( z e. { y e. om | ph } -> ph )
23	22	exlimiv 1621	. . . . 5 |- ( E. z z e. { y e. om | ph } -> ph )
24	19, 23	syl 14	. . . 4 |- ( om ~<_ { y e. om | ph } -> ph )
25	18, 24	orim12i 761	. . 3 |- ( ( { y e. om | ph } e. Fin \/ om ~<_ { y e. om | ph } ) -> ( -. ph \/ ph ) )
26	7, 25	ax-mp 5	. 2 |- ( -. ph \/ ph )
27		orcom 730	. 2 |- ( ( -. ph \/ ph ) <-> ( ph \/ -. ph ) )
28	26, 27	mpbi 145	1 |- ( ph \/ -. ph )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   (/)c0 3460   class class class wbr 4044   omcom 4638   ~<_ cdom 6826   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830

This theorem is referenced by: (None)