Theorem isinfinf 6863

Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isinfinf	|- ( om ~<_ A -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Distinct variable group:   A, n, x

Proof of Theorem isinfinf

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6715	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) -> E. f f : om -1-1-> A )
3		vex 2729	. . . . 5 |- f e. _V
4		imaexg 4958	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f " n ) e. _V )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( f " n ) e. _V
6		imassrn 4957	. . . . . 6 |- ( f " n ) C_ ran f
7		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om -1-1-> A )
8		f1f 5393	. . . . . . 7 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
9		frn 5346	. . . . . . 7 |- ( f : om --> A -> ran f C_ A )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	sstrid 3153	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f " n ) C_ A )
12		ordom 4584	. . . . . . . 8 |- Ord om
13		ordelss 4357	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
14	12, 13	mpan 421	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> n C_ om )
15	14	ad2antlr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> n C_ om )
16		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> n e. om )
17		f1imaeng 6758	. . . . . 6 |- ( ( f : om -1-1-> A /\ n C_ om /\ n e. om ) -> ( f " n ) ~~ n )
18	7, 15, 16, 17	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f " n ) ~~ n )
19	11, 18	jca 304	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) )
20		sseq1 3165	. . . . . 6 |- ( x = ( f " n ) -> ( x C_ A <-> ( f " n ) C_ A ) )
21		breq1 3985	. . . . . 6 |- ( x = ( f " n ) -> ( x ~~ n <-> ( f " n ) ~~ n ) )
22	20, 21	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( x = ( f " n ) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) ) )
23	22	spcegv 2814	. . . 4 |- ( ( f " n ) e. _V -> ( ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) ) )
24	5, 19, 23	mpsyl 65	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )
25	2, 24	exlimddv 1886	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )
26	25	ralrimiva 2539	1 |- ( om ~<_ A -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   Ord word 4340   omcom 4567   ran crn 4605   "cima 4607   -->wf 5184   -1-1->wf1 5185   ~~ cen 6704   ~<_ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708

This theorem is referenced by: (None)