ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isinfinf Unicode version

Theorem isinfinf 6759
Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
isinfinf  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
Distinct variable group:    A, n, x

Proof of Theorem isinfinf
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6611 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
21adantr 274 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
3 vex 2663 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
4 imaexg 4863 . . . . 5  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " n )  e.  _V )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( f
" n )  e. 
_V
6 imassrn 4862 . . . . . 6  |-  ( f
" n )  C_  ran  f
7 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  f : om
-1-1-> A )
8 f1f 5298 . . . . . . 7  |-  ( f : om -1-1-> A  -> 
f : om --> A )
9 frn 5251 . . . . . . 7  |-  ( f : om --> A  ->  ran  f  C_  A )
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ran  f  C_  A )
116, 10sstrid 3078 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( f " n )  C_  A )
12 ordom 4490 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
13 ordelss 4271 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
1412, 13mpan 420 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  n  C_ 
om )
1514ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  n  C_  om )
16 simplr 504 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  n  e.  om )
17 f1imaeng 6654 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -1-1-> A  /\  n  C_  om  /\  n  e.  om )  ->  ( f " n
)  ~~  n )
187, 15, 16, 17syl3anc 1201 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( f " n )  ~~  n )
1911, 18jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( (
f " n ) 
C_  A  /\  (
f " n ) 
~~  n ) )
20 sseq1 3090 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " n )  C_  A ) )
21 breq1 3902 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
x  ~~  n  <->  ( f " n )  ~~  n ) )
2220, 21anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <-> 
( ( f "
n )  C_  A  /\  ( f " n
)  ~~  n )
) )
2322spcegv 2748 . . . 4  |-  ( ( f " n )  e.  _V  ->  (
( ( f "
n )  C_  A  /\  ( f " n
)  ~~  n )  ->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  n ) ) )
245, 19, 23mpsyl 65 . . 3  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
252, 24exlimddv 1854 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
2625ralrimiva 2482 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   A.wral 2393   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   class class class wbr 3899   Ord word 4254   omcom 4474   ran crn 4510   "cima 4512   -->wf 5089   -1-1->wf1 5090    ~~ cen 6600    ~<_ cdom 6601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator