Theorem isinfinf 6953

Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isinfinf	|- ( om ~<_ A -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Distinct variable group:   A, n, x

Proof of Theorem isinfinf

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6803	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2	1	adantr 276	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) -> E. f f : om -1-1-> A )
3		vex 2763	. . . . 5 |- f e. _V
4		imaexg 5019	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f " n ) e. _V )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 |- ( f " n ) e. _V
6		imassrn 5016	. . . . . 6 |- ( f " n ) C_ ran f
7		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om -1-1-> A )
8		f1f 5459	. . . . . . 7 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
9		frn 5412	. . . . . . 7 |- ( f : om --> A -> ran f C_ A )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	sstrid 3190	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f " n ) C_ A )
12		ordom 4639	. . . . . . . 8 |- Ord om
13		ordelss 4410	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
14	12, 13	mpan 424	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> n C_ om )
15	14	ad2antlr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> n C_ om )
16		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> n e. om )
17		f1imaeng 6846	. . . . . 6 |- ( ( f : om -1-1-> A /\ n C_ om /\ n e. om ) -> ( f " n ) ~~ n )
18	7, 15, 16, 17	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f " n ) ~~ n )
19	11, 18	jca 306	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) )
20		sseq1 3202	. . . . . 6 |- ( x = ( f " n ) -> ( x C_ A <-> ( f " n ) C_ A ) )
21		breq1 4032	. . . . . 6 |- ( x = ( f " n ) -> ( x ~~ n <-> ( f " n ) ~~ n ) )
22	20, 21	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = ( f " n ) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) ) )
23	22	spcegv 2848	. . . 4 |- ( ( f " n ) e. _V -> ( ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) ) )
24	5, 19, 23	mpsyl 65	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )
25	2, 24	exlimddv 1910	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )
26	25	ralrimiva 2567	1 |- ( om ~<_ A -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   class class class wbr 4029   Ord word 4393   omcom 4622   ran crn 4660   "cima 4662   -->wf 5250   -1-1->wf1 5251   ~~ cen 6792   ~<_ cdom 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796

This theorem is referenced by: (None)