ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isinfinf Unicode version

Theorem isinfinf 6911
Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
isinfinf  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
Distinct variable group:    A, n, x

Proof of Theorem isinfinf
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6763 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
21adantr 276 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
3 vex 2752 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
4 imaexg 4994 . . . . 5  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " n )  e.  _V )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( f
" n )  e. 
_V
6 imassrn 4993 . . . . . 6  |-  ( f
" n )  C_  ran  f
7 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  f : om
-1-1-> A )
8 f1f 5433 . . . . . . 7  |-  ( f : om -1-1-> A  -> 
f : om --> A )
9 frn 5386 . . . . . . 7  |-  ( f : om --> A  ->  ran  f  C_  A )
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ran  f  C_  A )
116, 10sstrid 3178 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( f " n )  C_  A )
12 ordom 4618 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
13 ordelss 4391 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
1412, 13mpan 424 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  n  C_ 
om )
1514ad2antlr 489 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  n  C_  om )
16 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  n  e.  om )
17 f1imaeng 6806 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -1-1-> A  /\  n  C_  om  /\  n  e.  om )  ->  ( f " n
)  ~~  n )
187, 15, 16, 17syl3anc 1248 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( f " n )  ~~  n )
1911, 18jca 306 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( (
f " n ) 
C_  A  /\  (
f " n ) 
~~  n ) )
20 sseq1 3190 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " n )  C_  A ) )
21 breq1 4018 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
x  ~~  n  <->  ( f " n )  ~~  n ) )
2220, 21anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <-> 
( ( f "
n )  C_  A  /\  ( f " n
)  ~~  n )
) )
2322spcegv 2837 . . . 4  |-  ( ( f " n )  e.  _V  ->  (
( ( f "
n )  C_  A  /\  ( f " n
)  ~~  n )  ->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  n ) ) )
245, 19, 23mpsyl 65 . . 3  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
252, 24exlimddv 1908 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
2625ralrimiva 2560 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363   E.wex 1502    e. wcel 2158   A.wral 2465   _Vcvv 2749    C_ wss 3141   class class class wbr 4015   Ord word 4374   omcom 4601   ran crn 4639   "cima 4641   -->wf 5224   -1-1->wf1 5225    ~~ cen 6752    ~<_ cdom 6753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator