Theorem isinfinf 6667

Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
isinfinf	|- ( om ~<_ A -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Distinct variable group:   A, n, x

Proof of Theorem isinfinf

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6520	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> E. f f : om -1-1-> A )
2	1	adantr 271	. . 3 |- ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) -> E. f f : om -1-1-> A )
3		vex 2623	. . . . 5 |- f e. _V
4		imaexg 4799	. . . . 5 |- ( f e. _V -> ( f " n ) e. _V )
5	3, 4	ax-mp 7	. . . 4 |- ( f " n ) e. _V
6		imassrn 4798	. . . . . 6 |- ( f " n ) C_ ran f
7		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> f : om -1-1-> A )
8		f1f 5229	. . . . . . 7 |- ( f : om -1-1-> A -> f : om --> A )
9		frn 5182	. . . . . . 7 |- ( f : om --> A -> ran f C_ A )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ran f C_ A )
11	6, 10	syl5ss 3037	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f " n ) C_ A )
12		ordom 4434	. . . . . . . 8 |- Ord om
13		ordelss 4215	. . . . . . . 8 |- ( ( Ord om /\ n e. om ) -> n C_ om )
14	12, 13	mpan 416	. . . . . . 7 |- ( n e. om -> n C_ om )
15	14	ad2antlr 474	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> n C_ om )
16		simplr 498	. . . . . 6 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> n e. om )
17		f1imaeng 6563	. . . . . 6 |- ( ( f : om -1-1-> A /\ n C_ om /\ n e. om ) -> ( f " n ) ~~ n )
18	7, 15, 16, 17	syl3anc 1175	. . . . 5 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( f " n ) ~~ n )
19	11, 18	jca 301	. . . 4 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) )
20		sseq1 3048	. . . . . 6 |- ( x = ( f " n ) -> ( x C_ A <-> ( f " n ) C_ A ) )
21		breq1 3854	. . . . . 6 |- ( x = ( f " n ) -> ( x ~~ n <-> ( f " n ) ~~ n ) )
22	20, 21	anbi12d 458	. . . . 5 |- ( x = ( f " n ) -> ( ( x C_ A /\ x ~~ n ) <-> ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) ) )
23	22	spcegv 2708	. . . 4 |- ( ( f " n ) e. _V -> ( ( ( f " n ) C_ A /\ ( f " n ) ~~ n ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) ) )
24	5, 19, 23	mpsyl 65	. . 3 |- ( ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) /\ f : om -1-1-> A ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )
25	2, 24	exlimddv 1827	. 2 |- ( ( om ~<_ A /\ n e. om ) -> E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )
26	25	ralrimiva 2447	1 |- ( om ~<_ A -> A. n e. om E. x ( x C_ A /\ x ~~ n ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   E.wex 1427   e. wcel 1439   A.wral 2360   _Vcvv 2620   C_ wss 3000   class class class wbr 3851   Ord word 4198   omcom 4418   ran crn 4452   "cima 4454   -->wf 5024   -1-1->wf1 5025   ~~ cen 6509   ~<_ cdom 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-er 6306  df-en 6512  df-dom 6513

This theorem is referenced by: (None)