ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isinfinf Unicode version

Theorem isinfinf 6784
Description: An infinite set contains subsets of arbitrarily large finite cardinality. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
isinfinf  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
Distinct variable group:    A, n, x

Proof of Theorem isinfinf
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6636 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
21adantr 274 . . 3  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  ->  E. f 
f : om -1-1-> A
)
3 vex 2684 . . . . 5  |-  f  e. 
_V
4 imaexg 4888 . . . . 5  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f " n )  e.  _V )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( f
" n )  e. 
_V
6 imassrn 4887 . . . . . 6  |-  ( f
" n )  C_  ran  f
7 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  f : om
-1-1-> A )
8 f1f 5323 . . . . . . 7  |-  ( f : om -1-1-> A  -> 
f : om --> A )
9 frn 5276 . . . . . . 7  |-  ( f : om --> A  ->  ran  f  C_  A )
107, 8, 93syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ran  f  C_  A )
116, 10sstrid 3103 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( f " n )  C_  A )
12 ordom 4515 . . . . . . . 8  |-  Ord  om
13 ordelss 4296 . . . . . . . 8  |-  ( ( Ord  om  /\  n  e.  om )  ->  n  C_ 
om )
1412, 13mpan 420 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  om  ->  n  C_ 
om )
1514ad2antlr 480 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  n  C_  om )
16 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  n  e.  om )
17 f1imaeng 6679 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -1-1-> A  /\  n  C_  om  /\  n  e.  om )  ->  ( f " n
)  ~~  n )
187, 15, 16, 17syl3anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( f " n )  ~~  n )
1911, 18jca 304 . . . 4  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  ( (
f " n ) 
C_  A  /\  (
f " n ) 
~~  n ) )
20 sseq1 3115 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
x  C_  A  <->  ( f " n )  C_  A ) )
21 breq1 3927 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
x  ~~  n  <->  ( f " n )  ~~  n ) )
2220, 21anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f "
n )  ->  (
( x  C_  A  /\  x  ~~  n )  <-> 
( ( f "
n )  C_  A  /\  ( f " n
)  ~~  n )
) )
2322spcegv 2769 . . . 4  |-  ( ( f " n )  e.  _V  ->  (
( ( f "
n )  C_  A  /\  ( f " n
)  ~~  n )  ->  E. x ( x 
C_  A  /\  x  ~~  n ) ) )
245, 19, 23mpsyl 65 . . 3  |-  ( ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  /\  f : om -1-1-> A
)  ->  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
252, 24exlimddv 1870 . 2  |-  ( ( om  ~<_  A  /\  n  e.  om )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
2625ralrimiva 2503 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  A. n  e.  om  E. x ( x  C_  A  /\  x  ~~  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   _Vcvv 2681    C_ wss 3066   class class class wbr 3924   Ord word 4279   omcom 4499   ran crn 4535   "cima 4537   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115    ~~ cen 6625    ~<_ cdom 6626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator