Theorem ominf 6719

Description: The set of natural numbers is not finite. Although we supply this theorem because we can, the more natural way to express "ω is infinite" is ω ≼ ω which is an instance of domrefg 6591. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ominf	⊢ ¬ ω ∈ Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4445	. 2 ⊢ ω ∈ V
2		domrefg 6591	. 2 ⊢ (ω ∈ V → ω ≼ ω)
3		infnfi 6718	. 2 ⊢ (ω ≼ ω → ¬ ω ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2b 8	1 ⊢ ¬ ω ∈ Fin

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∈ wcel 1448  Vcvv 2641   class class class wbr 3875  ωcom 4442   ≼ cdom 6563  Fincfn 6564

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-tr 3967  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567

This theorem is referenced by:  inffiexmid  6729