ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opelres GIF version

Theorem opelres 4819
Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)
Hypothesis
Ref Expression
opelres.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
opelres (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶𝐴𝐷))

Proof of Theorem opelres
StepHypRef Expression
1 df-res 4546 . . 3 (𝐶𝐷) = (𝐶 ∩ (𝐷 × V))
21eleq2i 2204 . 2 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶𝐷) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)))
3 elin 3254 . 2 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)))
4 opelres.1 . . . 4 𝐵 ∈ V
5 opelxp 4564 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ (𝐴𝐷𝐵 ∈ V))
64, 5mpbiran2 925 . . 3 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ 𝐴𝐷)
76anbi2i 452 . 2 ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶𝐴𝐷))
82, 3, 73bitri 205 1 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶𝐴𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  wcel 1480  Vcvv 2681  cin 3065  cop 3525   × cxp 4532  cres 4536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-opab 3985  df-xp 4540  df-res 4546
This theorem is referenced by:  brres  4820  opelresg  4821  opres  4823  dmres  4835  elres  4850  relssres  4852  resiexg  4859  iss  4860  asymref  4919  ssrnres  4976  cnvresima  5023  ressn  5074  funssres  5160  fcnvres  5301
  Copyright terms: Public domain W3C validator