Theorem opelres 4927

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelres	⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4653	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾ 𝐷) = (𝐶 ∩ (𝐷 × V))
2	1	eleq2i 2256	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)))
3		elin 3333	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)))
4		opelres.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		opelxp 4671	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ V))
6	4, 5	mpbiran2 943	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ 𝐴 ∈ 𝐷)
7	6	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
8	2, 3, 7	3bitri 206	1 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ∩ cin 3143  ⟨cop 3610   × cxp 4639   ↾ cres 4643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-opab 4080  df-xp 4647  df-res 4653

This theorem is referenced by:  brres  4928  opelresg  4929  opres  4931  dmres  4943  elres  4958  relssres  4960  resiexg  4967  iss  4968  restidsing  4978  asymref  5029  ssrnres  5086  cnvresima  5133  ressn  5184  funssres  5273  fcnvres  5414