Theorem opelres 4983

Description: Ordered pair membership in a restriction. Exercise 13 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 13-Nov-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
opelres	⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem opelres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4705	. . 3 ⊢ (𝐶 ↾ 𝐷) = (𝐶 ∩ (𝐷 × V))
2	1	eleq2i 2274	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)))
3		elin 3364	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ∩ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)))
4		opelres.1	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
5		opelxp 4723	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ (𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐵 ∈ V))
6	4, 5	mpbiran2 944	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V) ↔ 𝐴 ∈ 𝐷)
7	6	anbi2i 457	. 2 ⊢ ((⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐷 × V)) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
8	2, 3, 7	3bitri 206	1 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776   ∩ cin 3173  ⟨cop 3646   × cxp 4691   ↾ cres 4695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-opab 4122  df-xp 4699  df-res 4705

This theorem is referenced by:  brres  4984  opelresg  4985  opres  4987  dmres  4999  elres  5014  relssres  5016  resiexg  5023  iss  5024  restidsing  5034  asymref  5087  ssrnres  5144  cnvresima  5191  ressn  5242  funssres  5332  fcnvres  5481