Theorem oprab2co 6186

Description: Composition of operator abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by David Abernethy, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprab2co.1	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. R )
oprab2co.2	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> D e. S )
oprab2co.3	|- F = ( x e. A , y e. B |-> <. C , D >. )
oprab2co.4	|- G = ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) )

Assertion

Ref	Expression
oprab2co	|- ( M Fn ( R X. S ) -> G = ( M o. F ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, M, y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem oprab2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprab2co.1	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. R )
2		oprab2co.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> D e. S )
3		opelxpi 4636	. . 3 |- ( ( C e. R /\ D e. S ) -> <. C , D >. e. ( R X. S ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. 2 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. C , D >. e. ( R X. S ) )
5		oprab2co.3	. 2 |- F = ( x e. A , y e. B |-> <. C , D >. )
6		oprab2co.4	. . 3 |- G = ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) )
7		df-ov 5845	. . . . 5 |- ( C M D ) = ( M ` <. C , D >. )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( C M D ) = ( M ` <. C , D >. ) )
9	8	mpoeq3ia 5907	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) ) = ( x e. A , y e. B |-> ( M ` <. C , D >. ) )
10	6, 9	eqtri 2186	. 2 |- G = ( x e. A , y e. B |-> ( M ` <. C , D >. ) )
11	4, 5, 10	oprabco 6185	1 |- ( M Fn ( R X. S ) -> G = ( M o. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   X. cxp 4602   o. ccom 4608   Fn wfn 5183   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   e. cmpo 5844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109

This theorem is referenced by: (None)