Theorem oprab2co 6115

Description: Composition of operator abstractions. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by David Abernethy, 23-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprab2co.1	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. R )
oprab2co.2	|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> D e. S )
oprab2co.3	|- F = ( x e. A , y e. B |-> <. C , D >. )
oprab2co.4	|- G = ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) )

Assertion

Ref	Expression
oprab2co	|- ( M Fn ( R X. S ) -> G = ( M o. F ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, M, y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   D( x, y)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem oprab2co

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprab2co.1	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> C e. R )
2		oprab2co.2	. . 3 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> D e. S )
3		opelxpi 4571	. . 3 |- ( ( C e. R /\ D e. S ) -> <. C , D >. e. ( R X. S ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	. 2 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> <. C , D >. e. ( R X. S ) )
5		oprab2co.3	. 2 |- F = ( x e. A , y e. B |-> <. C , D >. )
6		oprab2co.4	. . 3 |- G = ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) )
7		df-ov 5777	. . . . 5 |- ( C M D ) = ( M ` <. C , D >. )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( C M D ) = ( M ` <. C , D >. ) )
9	8	mpoeq3ia 5836	. . 3 |- ( x e. A , y e. B |-> ( C M D ) ) = ( x e. A , y e. B |-> ( M ` <. C , D >. ) )
10	6, 9	eqtri 2160	. 2 |- G = ( x e. A , y e. B |-> ( M ` <. C , D >. ) )
11	4, 5, 10	oprabco 6114	1 |- ( M Fn ( R X. S ) -> G = ( M o. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   <.cop 3530   X. cxp 4537   o. ccom 4543   Fn wfn 5118   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039

This theorem is referenced by: (None)