ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opswapg GIF version

Theorem opswapg 4874
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
opswapg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Proof of Theorem opswapg
StepHypRef Expression
1 cnvsng 4873 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
21unieqd 3641 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
3 elex 2623 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
4 elex 2623 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
5 opexg 4022 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
63, 4, 5syl2anr 284 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
7 unisng 3647 . . 3 (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
86, 7syl 14 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
92, 8eqtrd 2117 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1287  wcel 1436  Vcvv 2614  {csn 3425  cop 3428   cuni 3630  ccnv 4403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412
This theorem is referenced by:  2nd1st  5888  cnvf1olem  5927  brtposg  5954  dftpos4  5963  tpostpos  5964  xpcomco  6475
  Copyright terms: Public domain W3C validator