ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opswapg GIF version

Theorem opswapg 5025
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
opswapg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Proof of Theorem opswapg
StepHypRef Expression
1 cnvsng 5024 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
21unieqd 3747 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
3 elex 2697 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
4 elex 2697 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
5 opexg 4150 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
63, 4, 5syl2anr 288 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
7 unisng 3753 . . 3 (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
86, 7syl 14 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
92, 8eqtrd 2172 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527  cop 3530   cuni 3736  ccnv 4538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547
This theorem is referenced by:  2nd1st  6078  cnvf1olem  6121  brtposg  6151  dftpos4  6160  tpostpos  6161  xpcomco  6720  fsumcnv  11218  txswaphmeolem  12503
  Copyright terms: Public domain W3C validator