ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opswapg GIF version

Theorem opswapg 5127
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
opswapg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Proof of Theorem opswapg
StepHypRef Expression
1 cnvsng 5126 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
21unieqd 3832 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
3 elex 2760 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
4 elex 2760 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
5 opexg 4240 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
63, 4, 5syl2anr 290 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
7 unisng 3838 . . 3 (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
86, 7syl 14 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
92, 8eqtrd 2220 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1363  wcel 2158  Vcvv 2749  {csn 3604  cop 3607   cuni 3821  ccnv 4637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646
This theorem is referenced by:  2nd1st  6194  cnvf1olem  6238  brtposg  6268  dftpos4  6277  tpostpos  6278  xpcomco  6839  fsumcnv  11458  fprodcnv  11646  txswaphmeolem  14091
  Copyright terms: Public domain W3C validator