Theorem opswapg 5152

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opswapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Proof of Theorem opswapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 5151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
2	1	unieqd 3846	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩})
3		elex 2771	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
4		elex 2771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		opexg 4257	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
7		unisng 3852	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V → ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
9	2, 8	eqtrd 2226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3618  ⟨cop 3621  ∪ cuni 3835  ^◡ccnv 4658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667

This theorem is referenced by:  2nd1st  6233  cnvf1olem  6277  brtposg  6307  dftpos4  6316  tpostpos  6317  xpcomco  6880  fsumcnv  11580  fprodcnv  11768  txswaphmeolem  14488