Theorem opswapg 5033

Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opswapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Proof of Theorem opswapg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsng 5032	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
2	1	unieqd 3755	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩})
3		elex 2700	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
4		elex 2700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
5		opexg 4158	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anr 288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V)
7		unisng 3761	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐴⟩ ∈ V → ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ {⟨𝐵, 𝐴⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)
9	2, 8	eqtrd 2173	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = ⟨𝐵, 𝐴⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689  {csn 3532  ⟨cop 3535  ∪ cuni 3744  ^◡ccnv 4546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555

This theorem is referenced by:  2nd1st  6086  cnvf1olem  6129  brtposg  6159  dftpos4  6168  tpostpos  6169  xpcomco  6728  fsumcnv  11238  txswaphmeolem  12528