Theorem elxp4 5091

Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 5092. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp4	|- ( A e. ( B X. C ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )

Proof of Theorem elxp4

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) -> A e. _V )
2		elex 2737	. . . 4 |- ( U. dom { A } e. B -> U. dom { A } e. _V )
3		elex 2737	. . . 4 |- ( U. ran { A } e. C -> U. ran { A } e. _V )
4	2, 3	anim12i 336	. . 3 |- ( ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) -> ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) )
5		opexg 4206	. . . . 5 |- ( ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) -> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V )
6	5	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) ) -> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V )
7		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. -> ( A e. _V <-> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V ) )
8	7	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) ) -> ( A e. _V <-> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V ) )
9	6, 8	mpbird 166	. . 3 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) ) -> A e. _V )
10	4, 9	sylan2 284	. 2 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) -> A e. _V )
11		elxp 4621	. . . 4 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
13		sneq 3587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = <. x , y >. -> { A } = { <. x , y >. } )
14	13	rneqd 4833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = <. x , y >. -> ran { A } = ran { <. x , y >. } )
15	14	unieqd 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = <. x , y >. -> U. ran { A } = U. ran { <. x , y >. } )
16		vex 2729	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
17		vex 2729	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
18	16, 17	op2nda 5088	. . . . . . . . . . 11 |- U. ran { <. x , y >. } = y
19	15, 18	eqtr2di 2216	. . . . . . . . . 10 |- ( A = <. x , y >. -> y = U. ran { A } )
20	19	pm4.71ri 390	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. x , y >. <-> ( y = U. ran { A } /\ A = <. x , y >. ) )
21	20	anbi1i 454	. . . . . . . 8 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( ( y = U. ran { A } /\ A = <. x , y >. ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
22		anass 399	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y = U. ran { A } /\ A = <. x , y >. ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
23	21, 22	bitri 183	. . . . . . 7 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
24	23	exbii 1593	. . . . . 6 |- ( E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
25		snexg 4163	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
26		rnexg 4869	. . . . . . . . 9 |- ( { A } e. _V -> ran { A } e. _V )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ran { A } e. _V )
28		uniexg 4417	. . . . . . . 8 |- ( ran { A } e. _V -> U. ran { A } e. _V )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> U. ran { A } e. _V )
30		opeq2 3759	. . . . . . . . . 10 |- ( y = U. ran { A } -> <. x , y >. = <. x , U. ran { A } >. )
31	30	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. ran { A } -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. x , U. ran { A } >. ) )
32		eleq1 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( y = U. ran { A } -> ( y e. C <-> U. ran { A } e. C ) )
33	32	anbi2d 460	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. ran { A } -> ( ( x e. B /\ y e. C ) <-> ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )
34	31, 33	anbi12d 465	. . . . . . . 8 |- ( y = U. ran { A } -> ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
35	34	ceqsexgv 2855	. . . . . . 7 |- ( U. ran { A } e. _V -> ( E. y ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
36	29, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( E. y ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
37	24, 36	syl5bb 191	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
38		sneq 3587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = <. x , U. ran { A } >. -> { A } = { <. x , U. ran { A } >. } )
39	38	dmeqd 4806	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = <. x , U. ran { A } >. -> dom { A } = dom { <. x , U. ran { A } >. } )
40	39	unieqd 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( A = <. x , U. ran { A } >. -> U. dom { A } = U. dom { <. x , U. ran { A } >. } )
41	40	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) -> U. dom { A } = U. dom { <. x , U. ran { A } >. } )
42		dmsnopg 5075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ran { A } e. _V -> dom { <. x , U. ran { A } >. } = { x } )
43	29, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. _V -> dom { <. x , U. ran { A } >. } = { x } )
44	43	unieqd 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> U. dom { <. x , U. ran { A } >. } = U. { x } )
45	16	unisn 3805	. . . . . . . . . . 11 |- U. { x } = x
46	44, 45	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> U. dom { <. x , U. ran { A } >. } = x )
47	46	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) -> U. dom { <. x , U. ran { A } >. } = x )
48	41, 47	eqtr2d 2199	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) -> x = U. dom { A } )
49	48	ex 114	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A = <. x , U. ran { A } >. -> x = U. dom { A } ) )
50	49	pm4.71rd 392	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A = <. x , U. ran { A } >. <-> ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) ) )
51	50	anbi1d 461	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
52		anass 399	. . . . . 6 |- ( ( ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
53	52	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) ) )
54	37, 51, 53	3bitrd 213	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) ) )
55	54	exbidv 1813	. . 3 |- ( A e. _V -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> E. x ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) ) )
56		dmexg 4868	. . . . . 6 |- ( { A } e. _V -> dom { A } e. _V )
57	25, 56	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. _V -> dom { A } e. _V )
58		uniexg 4417	. . . . 5 |- ( dom { A } e. _V -> U. dom { A } e. _V )
59	57, 58	syl 14	. . . 4 |- ( A e. _V -> U. dom { A } e. _V )
60		opeq1 3758	. . . . . . 7 |- ( x = U. dom { A } -> <. x , U. ran { A } >. = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. )
61	60	eqeq2d 2177	. . . . . 6 |- ( x = U. dom { A } -> ( A = <. x , U. ran { A } >. <-> A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. ) )
62		eleq1 2229	. . . . . . 7 |- ( x = U. dom { A } -> ( x e. B <-> U. dom { A } e. B ) )
63	62	anbi1d 461	. . . . . 6 |- ( x = U. dom { A } -> ( ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) <-> ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )
64	61, 63	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( x = U. dom { A } -> ( ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
65	64	ceqsexgv 2855	. . . 4 |- ( U. dom { A } e. _V -> ( E. x ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
66	59, 65	syl 14	. . 3 |- ( A e. _V -> ( E. x ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
67	12, 55, 66	3bitrd 213	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B X. C ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
68	1, 10, 67	pm5.21nii 694	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   U.cuni 3789   X. cxp 4602   dom cdm 4604   ran crn 4605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615

This theorem is referenced by:  elxp6  6137  xpdom2  6797