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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > elxp4 | Unicode version |
Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 5113. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.) |
Ref | Expression |
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elxp4 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | elex 2748 |
. 2
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2 | elex 2748 |
. . . 4
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3 | elex 2748 |
. . . 4
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4 | 2, 3 | anim12i 338 |
. . 3
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5 | opexg 4225 |
. . . . 5
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6 | 5 | adantl 277 |
. . . 4
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7 | eleq1 2240 |
. . . . 5
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8 | 7 | adantr 276 |
. . . 4
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9 | 6, 8 | mpbird 167 |
. . 3
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10 | 4, 9 | sylan2 286 |
. 2
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11 | elxp 4640 |
. . . 4
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12 | 11 | a1i 9 |
. . 3
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13 | sneq 3602 |
. . . . . . . . . . . . 13
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14 | 13 | rneqd 4852 |
. . . . . . . . . . . 12
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15 | 14 | unieqd 3818 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | vex 2740 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | vex 2740 |
. . . . . . . . . . . 12
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18 | 16, 17 | op2nda 5109 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 15, 18 | eqtr2di 2227 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | pm4.71ri 392 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | anbi1i 458 |
. . . . . . . 8
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22 | anass 401 |
. . . . . . . 8
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23 | 21, 22 | bitri 184 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | exbii 1605 |
. . . . . 6
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25 | snexg 4181 |
. . . . . . . . 9
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26 | rnexg 4888 |
. . . . . . . . 9
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27 | 25, 26 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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28 | uniexg 4436 |
. . . . . . . 8
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29 | 27, 28 | syl 14 |
. . . . . . 7
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30 | opeq2 3777 |
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31 | 30 | eqeq2d 2189 |
. . . . . . . . 9
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32 | eleq1 2240 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 32 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . 9
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34 | 31, 33 | anbi12d 473 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | ceqsexgv 2866 |
. . . . . . 7
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36 | 29, 35 | syl 14 |
. . . . . 6
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37 | 24, 36 | bitrid 192 |
. . . . 5
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38 | sneq 3602 |
. . . . . . . . . . . 12
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39 | 38 | dmeqd 4825 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | 39 | unieqd 3818 |
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41 | 40 | adantl 277 |
. . . . . . . . 9
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42 | dmsnopg 5096 |
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43 | 29, 42 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | 43 | unieqd 3818 |
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45 | 16 | unisn 3823 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 44, 45 | eqtrdi 2226 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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48 | 41, 47 | eqtr2d 2211 |
. . . . . . . 8
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49 | 48 | ex 115 |
. . . . . . 7
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50 | 49 | pm4.71rd 394 |
. . . . . 6
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51 | 50 | anbi1d 465 |
. . . . 5
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52 | anass 401 |
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53 | 52 | a1i 9 |
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54 | 37, 51, 53 | 3bitrd 214 |
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55 | 54 | exbidv 1825 |
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56 | dmexg 4887 |
. . . . . 6
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57 | 25, 56 | syl 14 |
. . . . 5
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58 | uniexg 4436 |
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59 | 57, 58 | syl 14 |
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60 | opeq1 3776 |
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61 | 60 | eqeq2d 2189 |
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62 | eleq1 2240 |
. . . . . . 7
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63 | 62 | anbi1d 465 |
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64 | 61, 63 | anbi12d 473 |
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65 | 64 | ceqsexgv 2866 |
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66 | 59, 65 | syl 14 |
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67 | 12, 55, 66 | 3bitrd 214 |
. 2
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68 | 1, 10, 67 | pm5.21nii 704 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ral 2460 df-rex 2461 df-v 2739 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-br 4001 df-opab 4062 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-dm 4633 df-rn 4634 |
This theorem is referenced by: elxp6 6164 xpdom2 6825 |
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