Theorem elxp4 5112

Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 5113. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp4	|- ( A e. ( B X. C ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )

Proof of Theorem elxp4

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2748	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) -> A e. _V )
2		elex 2748	. . . 4 |- ( U. dom { A } e. B -> U. dom { A } e. _V )
3		elex 2748	. . . 4 |- ( U. ran { A } e. C -> U. ran { A } e. _V )
4	2, 3	anim12i 338	. . 3 |- ( ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) -> ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) )
5		opexg 4225	. . . . 5 |- ( ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) -> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) ) -> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V )
7		eleq1 2240	. . . . 5 |- ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. -> ( A e. _V <-> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V ) )
8	7	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) ) -> ( A e. _V <-> <. U. dom { A } , U. ran { A } >. e. _V ) )
9	6, 8	mpbird 167	. . 3 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. _V /\ U. ran { A } e. _V ) ) -> A e. _V )
10	4, 9	sylan2 286	. 2 |- ( ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) -> A e. _V )
11		elxp 4640	. . . 4 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
13		sneq 3602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A = <. x , y >. -> { A } = { <. x , y >. } )
14	13	rneqd 4852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = <. x , y >. -> ran { A } = ran { <. x , y >. } )
15	14	unieqd 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = <. x , y >. -> U. ran { A } = U. ran { <. x , y >. } )
16		vex 2740	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
17		vex 2740	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
18	16, 17	op2nda 5109	. . . . . . . . . . 11 |- U. ran { <. x , y >. } = y
19	15, 18	eqtr2di 2227	. . . . . . . . . 10 |- ( A = <. x , y >. -> y = U. ran { A } )
20	19	pm4.71ri 392	. . . . . . . . 9 |- ( A = <. x , y >. <-> ( y = U. ran { A } /\ A = <. x , y >. ) )
21	20	anbi1i 458	. . . . . . . 8 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( ( y = U. ran { A } /\ A = <. x , y >. ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
22		anass 401	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y = U. ran { A } /\ A = <. x , y >. ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
23	21, 22	bitri 184	. . . . . . 7 |- ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
24	23	exbii 1605	. . . . . 6 |- ( E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) )
25		snexg 4181	. . . . . . . . 9 |- ( A e. _V -> { A } e. _V )
26		rnexg 4888	. . . . . . . . 9 |- ( { A } e. _V -> ran { A } e. _V )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. _V -> ran { A } e. _V )
28		uniexg 4436	. . . . . . . 8 |- ( ran { A } e. _V -> U. ran { A } e. _V )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> U. ran { A } e. _V )
30		opeq2 3777	. . . . . . . . . 10 |- ( y = U. ran { A } -> <. x , y >. = <. x , U. ran { A } >. )
31	30	eqeq2d 2189	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. ran { A } -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. x , U. ran { A } >. ) )
32		eleq1 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( y = U. ran { A } -> ( y e. C <-> U. ran { A } e. C ) )
33	32	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( y = U. ran { A } -> ( ( x e. B /\ y e. C ) <-> ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )
34	31, 33	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( y = U. ran { A } -> ( ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
35	34	ceqsexgv 2866	. . . . . . 7 |- ( U. ran { A } e. _V -> ( E. y ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
36	29, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( E. y ( y = U. ran { A } /\ ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
37	24, 36	bitrid 192	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
38		sneq 3602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A = <. x , U. ran { A } >. -> { A } = { <. x , U. ran { A } >. } )
39	38	dmeqd 4825	. . . . . . . . . . 11 |- ( A = <. x , U. ran { A } >. -> dom { A } = dom { <. x , U. ran { A } >. } )
40	39	unieqd 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( A = <. x , U. ran { A } >. -> U. dom { A } = U. dom { <. x , U. ran { A } >. } )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) -> U. dom { A } = U. dom { <. x , U. ran { A } >. } )
42		dmsnopg 5096	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ran { A } e. _V -> dom { <. x , U. ran { A } >. } = { x } )
43	29, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. _V -> dom { <. x , U. ran { A } >. } = { x } )
44	43	unieqd 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. _V -> U. dom { <. x , U. ran { A } >. } = U. { x } )
45	16	unisn 3823	. . . . . . . . . . 11 |- U. { x } = x
46	44, 45	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. _V -> U. dom { <. x , U. ran { A } >. } = x )
47	46	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) -> U. dom { <. x , U. ran { A } >. } = x )
48	41, 47	eqtr2d 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) -> x = U. dom { A } )
49	48	ex 115	. . . . . . 7 |- ( A e. _V -> ( A = <. x , U. ran { A } >. -> x = U. dom { A } ) )
50	49	pm4.71rd 394	. . . . . 6 |- ( A e. _V -> ( A = <. x , U. ran { A } >. <-> ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) ) )
51	50	anbi1d 465	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
52		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
53	52	a1i 9	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( ( ( x = U. dom { A } /\ A = <. x , U. ran { A } >. ) /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) ) )
54	37, 51, 53	3bitrd 214	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) ) )
55	54	exbidv 1825	. . 3 |- ( A e. _V -> ( E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) <-> E. x ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) ) )
56		dmexg 4887	. . . . . 6 |- ( { A } e. _V -> dom { A } e. _V )
57	25, 56	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. _V -> dom { A } e. _V )
58		uniexg 4436	. . . . 5 |- ( dom { A } e. _V -> U. dom { A } e. _V )
59	57, 58	syl 14	. . . 4 |- ( A e. _V -> U. dom { A } e. _V )
60		opeq1 3776	. . . . . . 7 |- ( x = U. dom { A } -> <. x , U. ran { A } >. = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. )
61	60	eqeq2d 2189	. . . . . 6 |- ( x = U. dom { A } -> ( A = <. x , U. ran { A } >. <-> A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. ) )
62		eleq1 2240	. . . . . . 7 |- ( x = U. dom { A } -> ( x e. B <-> U. dom { A } e. B ) )
63	62	anbi1d 465	. . . . . 6 |- ( x = U. dom { A } -> ( ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) <-> ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )
64	61, 63	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = U. dom { A } -> ( ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
65	64	ceqsexgv 2866	. . . 4 |- ( U. dom { A } e. _V -> ( E. x ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
66	59, 65	syl 14	. . 3 |- ( A e. _V -> ( E. x ( x = U. dom { A } /\ ( A = <. x , U. ran { A } >. /\ ( x e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
67	12, 55, 66	3bitrd 214	. 2 |- ( A e. _V -> ( A e. ( B X. C ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) ) )
68	1, 10, 67	pm5.21nii 704	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> ( A = <. U. dom { A } , U. ran { A } >. /\ ( U. dom { A } e. B /\ U. ran { A } e. C ) ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   X. cxp 4621   dom cdm 4623   ran crn 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-dm 4633  df-rn 4634

This theorem is referenced by:  elxp6  6164  xpdom2  6825