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Theorem elxp4 5112
Description: Membership in a cross product. This version requires no quantifiers or dummy variables. See also elxp5 5113. (Contributed by NM, 17-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
elxp4  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )

Proof of Theorem elxp4
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . 2  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  ->  A  e.  _V )
2 elex 2748 . . . 4  |-  ( U. dom  { A }  e.  B  ->  U. dom  { A }  e.  _V )
3 elex 2748 . . . 4  |-  ( U. ran  { A }  e.  C  ->  U. ran  { A }  e.  _V )
42, 3anim12i 338 . . 3  |-  ( ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C )  ->  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\  U. ran  { A }  e.  _V ) )
5 opexg 4225 . . . . 5  |-  ( ( U. dom  { A }  e.  _V  /\  U. ran  { A }  e.  _V )  ->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e. 
_V )
65adantl 277 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\ 
U. ran  { A }  e.  _V )
)  ->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e. 
_V )
7 eleq1 2240 . . . . 5  |-  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  ->  ( A  e.  _V  <->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e. 
_V ) )
87adantr 276 . . . 4  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\ 
U. ran  { A }  e.  _V )
)  ->  ( A  e.  _V  <->  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  e.  _V ) )
96, 8mpbird 167 . . 3  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  _V  /\ 
U. ran  { A }  e.  _V )
)  ->  A  e.  _V )
104, 9sylan2 286 . 2  |-  ( ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
)  ->  A  e.  _V )
11 elxp 4640 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )
1211a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  E. x E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
13 sneq 3602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  { A }  =  { <. x ,  y
>. } )
1413rneqd 4852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  ran  { A }  =  ran  { <. x ,  y >. } )
1514unieqd 3818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  U. ran  { A }  =  U. ran  { <. x ,  y >. } )
16 vex 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
17 vex 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1816, 17op2nda 5109 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ran  {
<. x ,  y >. }  =  y
1915, 18eqtr2di 2227 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  <. x ,  y
>.  ->  y  =  U. ran  { A } )
2019pm4.71ri 392 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  =  <. x ,  y >. ) )
2120anbi1i 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  = 
<. x ,  y >.
)  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C ) ) )
22 anass 401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  =  U. ran  { A }  /\  A  =  <. x ,  y >. )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
2321, 22bitri 184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
2423exbii 1605 . . . . . 6  |-  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( y  =  U. ran  { A }  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
25 snexg 4181 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
26 rnexg 4888 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  e.  _V  ->  ran  { A }  e.  _V )
2725, 26syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  ran  { A }  e.  _V )
28 uniexg 4436 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
{ A }  e.  _V  ->  U. ran  { A }  e.  _V )
2927, 28syl 14 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  U. ran  { A }  e.  _V )
30 opeq2 3777 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )
3130eqeq2d 2189 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( A  =  <. x ,  y
>. 
<->  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. ) )
32 eleq1 2240 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( y  e.  C  <->  U. ran  { A }  e.  C
) )
3332anbi2d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  C )  <->  ( x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )
3431, 33anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  U. ran  { A }  ->  ( ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) )
3534ceqsexgv 2866 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  { A }  e.  _V  ->  ( E. y
( y  =  U. ran  { A }  /\  ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
3629, 35syl 14 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. y ( y  = 
U. ran  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) ) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
3724, 36bitrid 192 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
38 sneq 3602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  { A }  =  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
3938dmeqd 4825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  dom  { A }  =  dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
4039unieqd 3818 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  ->  U. dom  { A }  =  U. dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
4140adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  ->  U. dom  { A }  =  U. dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. } )
42 dmsnopg 5096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U. ran  { A }  e.  _V  ->  dom  { <. x ,  U. ran  { A } >. }  =  {
x } )
4329, 42syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  { x } )
4443unieqd 3818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  _V  ->  U. dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  U. { x } )
4516unisn 3823 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
x }  =  x
4644, 45eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  _V  ->  U. dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  x )
4746adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  ->  U. dom  {
<. x ,  U. ran  { A } >. }  =  x )
4841, 47eqtr2d 2211 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  ->  x  =  U. dom  { A } )
4948ex 115 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  =  <. x , 
U. ran  { A } >.  ->  x  =  U. dom  { A }
) )
5049pm4.71rd 394 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. 
<->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. ) ) )
5150anbi1d 465 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) )  <->  ( (
x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
52 anass 401 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  =  U. dom  { A }  /\  A  =  <. x , 
U. ran  { A } >. )  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) )
5352a1i 9 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( ( x  = 
U. dom  { A }  /\  A  =  <. x ,  U. ran  { A } >. )  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) ) )
5437, 51, 533bitrd 214 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. y ( A  = 
<. x ,  y >.  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) ) ) )
5554exbidv 1825 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. x E. y ( A  =  <. x ,  y >.  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. x ( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  =  <. x , 
U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) ) )
56 dmexg 4887 . . . . . 6  |-  ( { A }  e.  _V  ->  dom  { A }  e.  _V )
5725, 56syl 14 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  dom  { A }  e.  _V )
58 uniexg 4436 . . . . 5  |-  ( dom 
{ A }  e.  _V  ->  U. dom  { A }  e.  _V )
5957, 58syl 14 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  U. dom  { A }  e.  _V )
60 opeq1 3776 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  <. x ,  U. ran  { A } >.  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >. )
6160eqeq2d 2189 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  <->  A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >. ) )
62 eleq1 2240 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( x  e.  B  <->  U. dom  { A }  e.  B
) )
6362anbi1d 465 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( ( x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C )  <->  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )
6461, 63anbi12d 473 . . . . 5  |-  ( x  =  U. dom  { A }  ->  ( ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  ( x  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
6564ceqsexgv 2866 . . . 4  |-  ( U. dom  { A }  e.  _V  ->  ( E. x
( x  =  U. dom  { A }  /\  ( A  =  <. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )  <-> 
( A  =  <. U.
dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
6659, 65syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( E. x ( x  = 
U. dom  { A }  /\  ( A  = 
<. x ,  U. ran  { A } >.  /\  (
x  e.  B  /\  U.
ran  { A }  e.  C ) ) )  <-> 
( A  =  <. U.
dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C )
) ) )
6712, 55, 663bitrd 214 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) ) )
681, 10, 67pm5.21nii 704 1  |-  ( A  e.  ( B  X.  C )  <->  ( A  =  <. U. dom  { A } ,  U. ran  { A } >.  /\  ( U. dom  { A }  e.  B  /\  U. ran  { A }  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807    X. cxp 4621   dom cdm 4623   ran crn 4624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-dm 4633  df-rn 4634
This theorem is referenced by:  elxp6  6164  xpdom2  6825
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