Theorem txswaphmeolem 12960

Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeolem	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4636	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
2	1	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
3	2	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
4		eqidd 2166	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) )
5		sneq 3587	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. y , x >. -> { z } = { <. y , x >. } )
6	5	cnveqd 4780	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. y , x >. -> `' { z } = `' { <. y , x >. } )
7	6	unieqd 3800	. . . . . . . 8 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = U. `' { <. y , x >. } )
8		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
10		opswapg 5090	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >. )
11	8, 9, 10	mp2an 423	. . . . . . . 8 |- U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >.
12	7, 11	eqtrdi 2215	. . . . . . 7 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = <. x , y >. )
13	12	mpompt 5934	. . . . . 6 |- ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
14	13	eqcomi 2169	. . . . 5 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } )
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) )
16	3, 4, 15, 12	fmpoco 6184	. . 3 |- ( T. -> ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. ) )
17	16	mptru 1352	. 2 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
18		id 19	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> z = <. x , y >. )
19	18	mpompt 5934	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
20		mptresid 4938	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
21	17, 19, 20	3eqtr2i 2192	1 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   T. wtru 1344   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   U.cuni 3789   |-> cmpt 4043   _I cid 4266   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   |` cres 4606   o. ccom 4608   e. cmpo 5844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109

This theorem is referenced by:  txswaphmeo  12961