Theorem txswaphmeolem 15347

Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeolem	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> z = <. x , y >. )
2	1	mpompt 6173	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
3		mptresid 5115	. 2 |- ( _I |` ( X X. Y ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> z )
4		opelxpi 4804	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
5	4	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7		eqidd 2239	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) )
8		sneq 3719	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. y , x >. -> { z } = { <. y , x >. } )
9	8	cnveqd 4954	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. y , x >. -> `' { z } = `' { <. y , x >. } )
10	9	unieqd 3944	. . . . . . . 8 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = U. `' { <. y , x >. } )
11		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
12		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
13		opswapg 5272	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >. )
14	11, 12, 13	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >.
15	10, 14	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = <. x , y >. )
16	15	mpompt 6173	. . . . . 6 |- ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
17	16	eqcomi 2242	. . . . 5 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) )
19	6, 7, 18, 15	fmpoco 6445	. . 3 |- ( T. -> ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. ) )
20	19	mptru 1411	. 2 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
21	2, 3, 20	3eqtr4ri 2270	1 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3708   <.cop 3711   U.cuni 3933   |-> cmpt 4190   _I cid 4431   X. cxp 4770   `'ccnv 4771   |` cres 4774   o. ccom 4776   e. cmpo 6080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368

This theorem is referenced by:  txswaphmeo  15348