ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txswaphmeolem Unicode version

Theorem txswaphmeolem 12503
Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
txswaphmeolem  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Distinct variable groups:    x, y, X   
x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxpi 4571 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Y  /\  x  e.  X )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
21ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y )  -> 
<. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
32adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y ) )  ->  <. y ,  x >.  e.  ( Y  X.  X
) )
4 eqidd 2140 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. y ,  x >. )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )
5 sneq 3538 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  { z }  =  { <. y ,  x >. } )
65cnveqd 4715 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  `' { z }  =  `' { <. y ,  x >. } )
76unieqd 3747 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  U. `' { <. y ,  x >. } )
8 vex 2689 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
9 vex 2689 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
10 opswapg 5025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  _V  /\  x  e.  _V )  ->  U. `' { <. y ,  x >. }  =  <. x ,  y >.
)
118, 9, 10mp2an 422 . . . . . . . 8  |-  U. `' { <. y ,  x >. }  =  <. x ,  y >.
127, 11syl6eq 2188 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. y ,  x >.  ->  U. `' { z }  =  <. x ,  y >. )
1312mpompt 5863 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } )  =  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )
1413eqcomi 2143 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y >. )  =  ( z  e.  ( Y  X.  X
)  |->  U. `' { z } )
1514a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |-> 
<. x ,  y >.
)  =  ( z  e.  ( Y  X.  X )  |->  U. `' { z } ) )
163, 4, 15, 12fmpoco 6113 . . 3  |-  ( T. 
->  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <. x ,  y
>. )  o.  (
x  e.  X , 
y  e.  Y  |->  <.
y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y >. )
)
1716mptru 1340 . 2  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |-> 
<. x ,  y >.
)
18 id 19 . . 3  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  =  <. x ,  y >. )
1918mpompt 5863 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. x ,  y
>. )
20 mptresid 4873 . 2  |-  ( z  e.  ( X  X.  Y )  |->  z )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
2117, 19, 203eqtr2i 2166 1  |-  ( ( y  e.  Y ,  x  e.  X  |->  <.
x ,  y >.
)  o.  ( x  e.  X ,  y  e.  Y  |->  <. y ,  x >. ) )  =  (  _I  |`  ( X  X.  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {csn 3527   <.cop 3530   U.cuni 3736    |-> cmpt 3989    _I cid 4210    X. cxp 4537   `'ccnv 4538    |` cres 4541    o. ccom 4543    e. cmpo 5776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039
This theorem is referenced by:  txswaphmeo  12504
  Copyright terms: Public domain W3C validator