Theorem txswaphmeolem 13114

Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeolem	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4643	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
2	1	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
3	2	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
4		eqidd 2171	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) )
5		sneq 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. y , x >. -> { z } = { <. y , x >. } )
6	5	cnveqd 4787	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. y , x >. -> `' { z } = `' { <. y , x >. } )
7	6	unieqd 3807	. . . . . . . 8 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = U. `' { <. y , x >. } )
8		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
10		opswapg 5097	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >. )
11	8, 9, 10	mp2an 424	. . . . . . . 8 |- U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >.
12	7, 11	eqtrdi 2219	. . . . . . 7 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = <. x , y >. )
13	12	mpompt 5945	. . . . . 6 |- ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
14	13	eqcomi 2174	. . . . 5 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } )
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) )
16	3, 4, 15, 12	fmpoco 6195	. . 3 |- ( T. -> ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. ) )
17	16	mptru 1357	. 2 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
18		id 19	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> z = <. x , y >. )
19	18	mpompt 5945	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
20		mptresid 4945	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
21	17, 19, 20	3eqtr2i 2197	1 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   _I cid 4273   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   |` cres 4613   o. ccom 4615   e. cmpo 5855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120

This theorem is referenced by:  txswaphmeo  13115