Theorem txswaphmeolem 14499

Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeolem	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> z = <. x , y >. )
2	1	mpompt 6011	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
3		mptresid 4997	. 2 |- ( _I |` ( X X. Y ) ) = ( z e. ( X X. Y ) |-> z )
4		opelxpi 4692	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
5	4	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
7		eqidd 2194	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) )
8		sneq 3630	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. y , x >. -> { z } = { <. y , x >. } )
9	8	cnveqd 4839	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. y , x >. -> `' { z } = `' { <. y , x >. } )
10	9	unieqd 3847	. . . . . . . 8 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = U. `' { <. y , x >. } )
11		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
12		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
13		opswapg 5153	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >. )
14	11, 12, 13	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >.
15	10, 14	eqtrdi 2242	. . . . . . 7 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = <. x , y >. )
16	15	mpompt 6011	. . . . . 6 |- ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
17	16	eqcomi 2197	. . . . 5 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } )
18	17	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) )
19	6, 7, 18, 15	fmpoco 6271	. . 3 |- ( T. -> ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. ) )
20	19	mptru 1373	. 2 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
21	2, 3, 20	3eqtr4ri 2225	1 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619   <.cop 3622   U.cuni 3836   |-> cmpt 4091   _I cid 4320   X. cxp 4658   `'ccnv 4659   |` cres 4662   o. ccom 4664   e. cmpo 5921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196

This theorem is referenced by:  txswaphmeo  14500