Theorem txswaphmeolem 13079

Description: Show inverse for the "swap components" operation on a Cartesian product. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
txswaphmeolem	|- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Distinct variable groups:   x, y, X   x, Y, y

Proof of Theorem txswaphmeolem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4641	. . . . . 6 |- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
2	1	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( x e. X /\ y e. Y ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
3	2	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( x e. X /\ y e. Y ) ) -> <. y , x >. e. ( Y X. X ) )
4		eqidd 2171	. . . 4 |- ( T. -> ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) )
5		sneq 3592	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. y , x >. -> { z } = { <. y , x >. } )
6	5	cnveqd 4785	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. y , x >. -> `' { z } = `' { <. y , x >. } )
7	6	unieqd 3805	. . . . . . . 8 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = U. `' { <. y , x >. } )
8		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
9		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
10		opswapg 5095	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. _V /\ x e. _V ) -> U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >. )
11	8, 9, 10	mp2an 424	. . . . . . . 8 |- U. `' { <. y , x >. } = <. x , y >.
12	7, 11	eqtrdi 2219	. . . . . . 7 |- ( z = <. y , x >. -> U. `' { z } = <. x , y >. )
13	12	mpompt 5943	. . . . . 6 |- ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) = ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. )
14	13	eqcomi 2174	. . . . 5 |- ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } )
15	14	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) = ( z e. ( Y X. X ) |-> U. `' { z } ) )
16	3, 4, 15, 12	fmpoco 6193	. . 3 |- ( T. -> ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. ) )
17	16	mptru 1357	. 2 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
18		id 19	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> z = <. x , y >. )
19	18	mpompt 5943	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( x e. X , y e. Y |-> <. x , y >. )
20		mptresid 4943	. 2 |- ( z e. ( X X. Y ) |-> z ) = ( _I |` ( X X. Y ) )
21	17, 19, 20	3eqtr2i 2197	1 |- ( ( y e. Y , x e. X |-> <. x , y >. ) o. ( x e. X , y e. Y |-> <. y , x >. ) ) = ( _I |` ( X X. Y ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3581   <.cop 3584   U.cuni 3794   |-> cmpt 4048   _I cid 4271   X. cxp 4607   `'ccnv 4608   |` cres 4611   o. ccom 4613   e. cmpo 5853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118

This theorem is referenced by:  txswaphmeo  13080