Theorem xpcomco 6903

Description: Composition with the bijection of xpcomf1o 6902 swaps the arguments to a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcomf1o.1	|- F = ( x e. ( A X. B ) |-> U. `' { x } )
xpcomco.1	|- G = ( y e. B , z e. A |-> C )

Assertion

Ref	Expression
xpcomco	|- ( G o. F ) = ( z e. A , y e. B |-> C )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   y, F, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z)   F( x)   G( x, y, z)

Proof of Theorem xpcomco

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcomf1o.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. ( A X. B ) |-> U. `' { x } )
2	1	xpcomf1o 6902	. . . . . . . . 9 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B X. A )
3		f1ofun 5518	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B X. A ) -> Fun F )
4		funbrfv2b 5617	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( u F w <-> ( u e. dom F /\ ( F ` u ) = w ) ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( u F w <-> ( u e. dom F /\ ( F ` u ) = w ) )
6		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. dom F /\ ( F ` u ) = w ) <-> ( ( F ` u ) = w /\ u e. dom F ) )
7		eqcom 2206	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` u ) = w <-> w = ( F ` u ) )
8		f1odm 5520	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B X. A ) -> dom F = ( A X. B ) )
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- dom F = ( A X. B )
10	9	eleq2i 2271	. . . . . . . . 9 |- ( u e. dom F <-> u e. ( A X. B ) )
11	7, 10	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` u ) = w /\ u e. dom F ) <-> ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) )
12	5, 6, 11	3bitri 206	. . . . . . 7 |- ( u F w <-> ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) )
13	12	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( u F w /\ w G v ) <-> ( ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) /\ w G v ) )
14		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) /\ w G v ) <-> ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) )
15	13, 14	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( u F w /\ w G v ) <-> ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) )
16	15	exbii 1627	. . . 4 |- ( E. w ( u F w /\ w G v ) <-> E. w ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) )
17		vex 2774	. . . . . . 7 |- u e. _V
18	1	mptfvex 5659	. . . . . . 7 |- ( ( A. x U. `' { x } e. _V /\ u e. _V ) -> ( F ` u ) e. _V )
19	17, 18	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( A. x U. `' { x } e. _V -> ( F ` u ) e. _V )
20		vex 2774	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
21	20	snex 4228	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
22	21	cnvex 5218	. . . . . . 7 |- `' { x } e. _V
23	22	uniex 4482	. . . . . 6 |- U. `' { x } e. _V
24	19, 23	mpg 1473	. . . . 5 |- ( F ` u ) e. _V
25		breq1 4046	. . . . . 6 |- ( w = ( F ` u ) -> ( w G v <-> ( F ` u ) G v ) )
26	25	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = ( F ` u ) -> ( ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) <-> ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) ) )
27	24, 26	ceqsexv 2810	. . . 4 |- ( E. w ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) <-> ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) )
28		elxp 4690	. . . . . 6 |- ( u e. ( A X. B ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) )
29	28	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) )
30		nfcv 2347	. . . . . . 7 |- F/_ z ( F ` u )
31		xpcomco.1	. . . . . . . 8 |- G = ( y e. B , z e. A |-> C )
32		nfmpo2 6003	. . . . . . . 8 |- F/_ z ( y e. B , z e. A |-> C )
33	31, 32	nfcxfr 2344	. . . . . . 7 |- F/_ z G
34		nfcv 2347	. . . . . . 7 |- F/_ z v
35	30, 33, 34	nfbr 4089	. . . . . 6 |- F/ z ( F ` u ) G v
36	35	19.41 1708	. . . . 5 |- ( E. z ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) )
37		nfcv 2347	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( F ` u )
38		nfmpo1 6002	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( y e. B , z e. A |-> C )
39	31, 38	nfcxfr 2344	. . . . . . . . 9 |- F/_ y G
40		nfcv 2347	. . . . . . . . 9 |- F/_ y v
41	37, 39, 40	nfbr 4089	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F ` u ) G v
42	41	19.41 1708	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) )
43		anass 401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` u ) G v ) ) )
44		fveq2 5570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = <. z , y >. -> ( F ` u ) = ( F ` <. z , y >. ) )
45		opelxpi 4705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. A /\ y e. B ) -> <. z , y >. e. ( A X. B ) )
46		sneq 3643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. z , y >. -> { x } = { <. z , y >. } )
47	46	cnveqd 4852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , y >. -> `' { x } = `' { <. z , y >. } )
48	47	unieqd 3860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , y >. -> U. `' { x } = U. `' { <. z , y >. } )
49		vex 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
50		vex 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
51		opswapg 5166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ y e. _V ) -> U. `' { <. z , y >. } = <. y , z >. )
52	49, 50, 51	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. `' { <. z , y >. } = <. y , z >.
53	48, 52	eqtrdi 2253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , y >. -> U. `' { x } = <. y , z >. )
54	50, 49	opex 4272	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <. y , z >. e. _V
55	53, 1, 54	fvmpt 5650	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. z , y >. e. ( A X. B ) -> ( F ` <. z , y >. ) = <. y , z >. )
56	45, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ y e. B ) -> ( F ` <. z , y >. ) = <. y , z >. )
57	44, 56	sylan9eq 2257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( F ` u ) = <. y , z >. )
58	57	breq1d 4053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` u ) G v <-> <. y , z >. G v ) )
59		df-br 4044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. y , z >. G v <-> <. <. y , z >. , v >. e. G )
60		df-mpo 5939	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. B , z e. A |-> C ) = { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) }
61	31, 60	eqtri 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) }
62	61	eleq2i 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. <. y , z >. , v >. e. G <-> <. <. y , z >. , v >. e. { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) } )
63		oprabid 5966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. <. y , z >. , v >. e. { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) } <-> ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) )
64	59, 62, 63	3bitri 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. y , z >. G v <-> ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) )
65	64	baib 920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ z e. A ) -> ( <. y , z >. G v <-> v = C ) )
66	65	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A /\ y e. B ) -> ( <. y , z >. G v <-> v = C ) )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( <. y , z >. G v <-> v = C ) )
68	58, 67	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` u ) G v <-> v = C ) )
69	68	pm5.32da 452	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. z , y >. -> ( ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
70	69	pm5.32i 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` u ) G v ) ) <-> ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
71	43, 70	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
72	71	exbii 1627	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
73	42, 72	bitr3i 186	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
74	73	exbii 1627	. . . . 5 |- ( E. z ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
75	29, 36, 74	3bitr2i 208	. . . 4 |- ( ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
76	16, 27, 75	3bitri 206	. . 3 |- ( E. w ( u F w /\ w G v ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
77	76	opabbii 4110	. 2 |- { <. u , v >. | E. w ( u F w /\ w G v ) } = { <. u , v >. | E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) }
78		df-co 4682	. 2 |- ( G o. F ) = { <. u , v >. | E. w ( u F w /\ w G v ) }
79		df-mpo 5939	. . 3 |- ( z e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. z , y >. , v >. | ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) }
80		dfoprab2 5982	. . 3 |- { <. <. z , y >. , v >. | ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) } = { <. u , v >. | E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) }
81	79, 80	eqtri 2225	. 2 |- ( z e. A , y e. B |-> C ) = { <. u , v >. | E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) }
82	77, 78, 81	3eqtr4i 2235	1 |- ( G o. F ) = ( z e. A , y e. B |-> C )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1370   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   {csn 3632   <.cop 3635   U.cuni 3849   class class class wbr 4043   {copab 4103   |-> cmpt 4104   X. cxp 4671   `'ccnv 4672   dom cdm 4673   o. ccom 4677   Fun wfun 5262   -1-1-onto->wf1o 5267   ` cfv 5268   {coprab 5935   e. cmpo 5936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217

This theorem is referenced by: (None)