Theorem xpcomco 6894

Description: Composition with the bijection of xpcomf1o 6893 swaps the arguments to a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpcomf1o.1	|- F = ( x e. ( A X. B ) |-> U. `' { x } )
xpcomco.1	|- G = ( y e. B , z e. A |-> C )

Assertion

Ref	Expression
xpcomco	|- ( G o. F ) = ( z e. A , y e. B |-> C )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z   y, F, z

Allowed substitution hints:   C( x, y, z)   F( x)   G( x, y, z)

Proof of Theorem xpcomco

Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpcomf1o.1	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. ( A X. B ) |-> U. `' { x } )
2	1	xpcomf1o 6893	. . . . . . . . 9 |- F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B X. A )
3		f1ofun 5509	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B X. A ) -> Fun F )
4		funbrfv2b 5608	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( u F w <-> ( u e. dom F /\ ( F ` u ) = w ) ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . . . . 8 |- ( u F w <-> ( u e. dom F /\ ( F ` u ) = w ) )
6		ancom 266	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. dom F /\ ( F ` u ) = w ) <-> ( ( F ` u ) = w /\ u e. dom F ) )
7		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` u ) = w <-> w = ( F ` u ) )
8		f1odm 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : ( A X. B ) -1-1-onto-> ( B X. A ) -> dom F = ( A X. B ) )
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- dom F = ( A X. B )
10	9	eleq2i 2263	. . . . . . . . 9 |- ( u e. dom F <-> u e. ( A X. B ) )
11	7, 10	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` u ) = w /\ u e. dom F ) <-> ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) )
12	5, 6, 11	3bitri 206	. . . . . . 7 |- ( u F w <-> ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) )
13	12	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( u F w /\ w G v ) <-> ( ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) /\ w G v ) )
14		anass 401	. . . . . 6 |- ( ( ( w = ( F ` u ) /\ u e. ( A X. B ) ) /\ w G v ) <-> ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) )
15	13, 14	bitri 184	. . . . 5 |- ( ( u F w /\ w G v ) <-> ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) )
16	15	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. w ( u F w /\ w G v ) <-> E. w ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) )
17		vex 2766	. . . . . . 7 |- u e. _V
18	1	mptfvex 5650	. . . . . . 7 |- ( ( A. x U. `' { x } e. _V /\ u e. _V ) -> ( F ` u ) e. _V )
19	17, 18	mpan2 425	. . . . . 6 |- ( A. x U. `' { x } e. _V -> ( F ` u ) e. _V )
20		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
21	20	snex 4219	. . . . . . . 8 |- { x } e. _V
22	21	cnvex 5209	. . . . . . 7 |- `' { x } e. _V
23	22	uniex 4473	. . . . . 6 |- U. `' { x } e. _V
24	19, 23	mpg 1465	. . . . 5 |- ( F ` u ) e. _V
25		breq1 4037	. . . . . 6 |- ( w = ( F ` u ) -> ( w G v <-> ( F ` u ) G v ) )
26	25	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( w = ( F ` u ) -> ( ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) <-> ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) ) )
27	24, 26	ceqsexv 2802	. . . 4 |- ( E. w ( w = ( F ` u ) /\ ( u e. ( A X. B ) /\ w G v ) ) <-> ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) )
28		elxp 4681	. . . . . 6 |- ( u e. ( A X. B ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) )
29	28	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) )
30		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ z ( F ` u )
31		xpcomco.1	. . . . . . . 8 |- G = ( y e. B , z e. A |-> C )
32		nfmpo2 5994	. . . . . . . 8 |- F/_ z ( y e. B , z e. A |-> C )
33	31, 32	nfcxfr 2336	. . . . . . 7 |- F/_ z G
34		nfcv 2339	. . . . . . 7 |- F/_ z v
35	30, 33, 34	nfbr 4080	. . . . . 6 |- F/ z ( F ` u ) G v
36	35	19.41 1700	. . . . 5 |- ( E. z ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) )
37		nfcv 2339	. . . . . . . . 9 |- F/_ y ( F ` u )
38		nfmpo1 5993	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( y e. B , z e. A |-> C )
39	31, 38	nfcxfr 2336	. . . . . . . . 9 |- F/_ y G
40		nfcv 2339	. . . . . . . . 9 |- F/_ y v
41	37, 39, 40	nfbr 4080	. . . . . . . 8 |- F/ y ( F ` u ) G v
42	41	19.41 1700	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) )
43		anass 401	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` u ) G v ) ) )
44		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = <. z , y >. -> ( F ` u ) = ( F ` <. z , y >. ) )
45		opelxpi 4696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z e. A /\ y e. B ) -> <. z , y >. e. ( A X. B ) )
46		sneq 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = <. z , y >. -> { x } = { <. z , y >. } )
47	46	cnveqd 4843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = <. z , y >. -> `' { x } = `' { <. z , y >. } )
48	47	unieqd 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = <. z , y >. -> U. `' { x } = U. `' { <. z , y >. } )
49		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
50		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- y e. _V
51		opswapg 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ y e. _V ) -> U. `' { <. z , y >. } = <. y , z >. )
52	49, 50, 51	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. `' { <. z , y >. } = <. y , z >.
53	48, 52	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = <. z , y >. -> U. `' { x } = <. y , z >. )
54	50, 49	opex 4263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <. y , z >. e. _V
55	53, 1, 54	fvmpt 5641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. z , y >. e. ( A X. B ) -> ( F ` <. z , y >. ) = <. y , z >. )
56	45, 55	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. A /\ y e. B ) -> ( F ` <. z , y >. ) = <. y , z >. )
57	44, 56	sylan9eq 2249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( F ` u ) = <. y , z >. )
58	57	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` u ) G v <-> <. y , z >. G v ) )
59		df-br 4035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. y , z >. G v <-> <. <. y , z >. , v >. e. G )
60		df-mpo 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. B , z e. A |-> C ) = { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) }
61	31, 60	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- G = { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) }
62	61	eleq2i 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. <. y , z >. , v >. e. G <-> <. <. y , z >. , v >. e. { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) } )
63		oprabid 5957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. <. y , z >. , v >. e. { <. <. y , z >. , v >. | ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) } <-> ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) )
64	59, 62, 63	3bitri 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. y , z >. G v <-> ( ( y e. B /\ z e. A ) /\ v = C ) )
65	64	baib 920	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. B /\ z e. A ) -> ( <. y , z >. G v <-> v = C ) )
66	65	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A /\ y e. B ) -> ( <. y , z >. G v <-> v = C ) )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( <. y , z >. G v <-> v = C ) )
68	58, 67	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` u ) G v <-> v = C ) )
69	68	pm5.32da 452	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. z , y >. -> ( ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
70	69	pm5.32i 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ ( F ` u ) G v ) ) <-> ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
71	43, 70	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
72	71	exbii 1619	. . . . . . 7 |- ( E. y ( ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
73	42, 72	bitr3i 186	. . . . . 6 |- ( ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
74	73	exbii 1619	. . . . 5 |- ( E. z ( E. y ( u = <. z , y >. /\ ( z e. A /\ y e. B ) ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
75	29, 36, 74	3bitr2i 208	. . . 4 |- ( ( u e. ( A X. B ) /\ ( F ` u ) G v ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
76	16, 27, 75	3bitri 206	. . 3 |- ( E. w ( u F w /\ w G v ) <-> E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) )
77	76	opabbii 4101	. 2 |- { <. u , v >. | E. w ( u F w /\ w G v ) } = { <. u , v >. | E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) }
78		df-co 4673	. 2 |- ( G o. F ) = { <. u , v >. | E. w ( u F w /\ w G v ) }
79		df-mpo 5930	. . 3 |- ( z e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. z , y >. , v >. | ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) }
80		dfoprab2 5973	. . 3 |- { <. <. z , y >. , v >. | ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) } = { <. u , v >. | E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) }
81	79, 80	eqtri 2217	. 2 |- ( z e. A , y e. B |-> C ) = { <. u , v >. | E. z E. y ( u = <. z , y >. /\ ( ( z e. A /\ y e. B ) /\ v = C ) ) }
82	77, 78, 81	3eqtr4i 2227	1 |- ( G o. F ) = ( z e. A , y e. B |-> C )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3623   <.cop 3626   U.cuni 3840   class class class wbr 4034   {copab 4094   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   o. ccom 4668   Fun wfun 5253   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259   {coprab 5926   e. cmpo 5927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208

This theorem is referenced by: (None)