Theorem ovidig 6122

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 6123. The condition (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidig.1	⊢ ∃*𝑧𝜑
ovidig.2	⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
ovidig	⊢ (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ovidig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6004	. 2 ⊢ (𝑥𝐹𝑦) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2		ovidig.1	. . . . 5 ⊢ ∃*𝑧𝜑
3	2	funoprab 6104	. . . 4 ⊢ Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
4		ovidig.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
5	4	funeqi 5339	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
6	3, 5	mpbir 146	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
7		oprabid 6033	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
8	7	biimpri 133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
9	8, 4	eleqtrrdi 2323	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)
10		funopfv 5671	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧))
11	6, 9, 10	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧)
12	1, 11	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395  ∃*wmo 2078   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669  Fun wfun 5312  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  {coprab 6002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005

This theorem is referenced by:  ovidi  6123