Theorem ovidig 5896

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 5897. The condition (𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovidig.1	⊢ ∃*𝑧𝜑
ovidig.2	⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}

Assertion

Ref	Expression
ovidig	⊢ (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ovidig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5785	. 2 ⊢ (𝑥𝐹𝑦) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2		ovidig.1	. . . . 5 ⊢ ∃*𝑧𝜑
3	2	funoprab 5879	. . . 4 ⊢ Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
4		ovidig.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
5	4	funeqi 5152	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
6	3, 5	mpbir 145	. . 3 ⊢ Fun 𝐹
7		oprabid 5811	. . . . 5 ⊢ (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
8	7	biimpri 132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
9	8, 4	eleqtrrdi 2234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)
10		funopfv 5469	. . 3 ⊢ (Fun 𝐹 → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧))
11	6, 9, 10	mpsyl 65	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧)
12	1, 11	syl5eq 2185	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃*wmo 2001  ⟨cop 3535  Fun wfun 5125  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  {coprab 5783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786

This theorem is referenced by:  ovidi  5897