ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ovidig GIF version

Theorem ovidig 5721
Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovidi 5722. The condition (𝑥𝑅𝑦𝑆) is been removed. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovidig.1 ∃*𝑧𝜑
ovidig.2 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
Assertion
Ref Expression
ovidig (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ovidig
StepHypRef Expression
1 df-ov 5618 . 2 (𝑥𝐹𝑦) = (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
2 ovidig.1 . . . . 5 ∃*𝑧𝜑
32funoprab 5704 . . . 4 Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
4 ovidig.2 . . . . 5 𝐹 = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
54funeqi 5003 . . . 4 (Fun 𝐹 ↔ Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
63, 5mpbir 144 . . 3 Fun 𝐹
7 oprabid 5640 . . . . 5 (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
87biimpri 131 . . . 4 (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
98, 4syl6eleqr 2178 . . 3 (𝜑 → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹)
10 funopfv 5309 . . 3 (Fun 𝐹 → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ 𝐹 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧))
116, 9, 10mpsyl 64 . 2 (𝜑 → (𝐹‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑧)
121, 11syl5eq 2129 1 (𝜑 → (𝑥𝐹𝑦) = 𝑧)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1287  wcel 1436  ∃*wmo 1946  cop 3434  Fun wfun 4977  cfv 4983  (class class class)co 5615  {coprab 5616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-setind 4328
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-ov 5618  df-oprab 5619
This theorem is referenced by:  ovidi  5722
  Copyright terms: Public domain W3C validator