Theorem fmpo 6431

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpox 6430	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D )
3		iunxpconst 4833	. . 3 |- U_ x e. A ( { x } X. B ) = ( A X. B )
4	3	feq2i 5525	. 2 |- ( F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D <-> F : ( A X. B ) --> D )
5	2, 4	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   {csn 3708   U_ciun 4010   X. cxp 4770   -->wf 5371   e. cmpo 6081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369

This theorem is used by:  fnmpo  6432  ovmpoelrn  6437  fmpoco  6446  eroprf  6896  mapxpen  7142  subf  8522  xaddf  10229  ixxf  10283  ioof  10356  fzf  10398  fzof  10534  gcdf  12732  eucalgf  12816  xpsff1o  13653  mgmplusf  13669  grpsubf  13867  lmodscaf  14630  txuni2  15340  txbasval  15351  cnmpt12  15371  cnmpt21  15375  cnmpt2t  15377  cnmpt22  15378  cnmptcom  15382  txswaphmeo  15405  blfvalps  15469  blfps  15493  blf  15494  bdmet  15586  xmetxp  15591  sgmf  16083