Theorem fmpo 6254

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpox 6253	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D )
3		iunxpconst 4719	. . 3 |- U_ x e. A ( { x } X. B ) = ( A X. B )
4	3	feq2i 5397	. 2 |- ( F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D <-> F : ( A X. B ) --> D )
5	2, 4	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   {csn 3618   U_ciun 3912   X. cxp 4657   -->wf 5250   e. cmpo 5920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194

This theorem is referenced by:  fnmpo  6255  ovmpoelrn  6260  fmpoco  6269  eroprf  6682  mapxpen  6904  subf  8221  xaddf  9910  ixxf  9964  ioof  10037  fzf  10078  fzof  10210  gcdf  12109  eucalgf  12193  xpsff1o  12932  mgmplusf  12949  grpsubf  13151  lmodscaf  13806  txuni2  14424  txbasval  14435  cnmpt12  14455  cnmpt21  14459  cnmpt2t  14461  cnmpt22  14462  cnmptcom  14466  txswaphmeo  14489  blfvalps  14553  blfps  14577  blf  14578  bdmet  14670  xmetxp  14675