Theorem fmpo 6310

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpox 6309	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D )
3		iunxpconst 4753	. . 3 |- U_ x e. A ( { x } X. B ) = ( A X. B )
4	3	feq2i 5439	. 2 |- ( F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D <-> F : ( A X. B ) --> D )
5	2, 4	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   {csn 3643   U_ciun 3941   X. cxp 4691   -->wf 5286   e. cmpo 5969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250

This theorem is referenced by:  fnmpo  6311  ovmpoelrn  6316  fmpoco  6325  eroprf  6738  mapxpen  6970  subf  8309  xaddf  10001  ixxf  10055  ioof  10128  fzf  10169  fzof  10301  gcdf  12408  eucalgf  12492  xpsff1o  13296  mgmplusf  13313  grpsubf  13526  lmodscaf  14187  txuni2  14843  txbasval  14854  cnmpt12  14874  cnmpt21  14878  cnmpt2t  14880  cnmpt22  14881  cnmptcom  14885  txswaphmeo  14908  blfvalps  14972  blfps  14996  blf  14997  bdmet  15089  xmetxp  15094  sgmf  15573