Theorem fmpo 6375

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpox 6374	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D )
3		iunxpconst 4792	. . 3 |- U_ x e. A ( { x } X. B ) = ( A X. B )
4	3	feq2i 5483	. 2 |- ( F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D <-> F : ( A X. B ) --> D )
5	2, 4	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {csn 3673   U_ciun 3975   X. cxp 4729   -->wf 5329   e. cmpo 6030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313

This theorem is referenced by:  fnmpo  6376  ovmpoelrn  6381  fmpoco  6390  eroprf  6840  mapxpen  7077  subf  8440  xaddf  10140  ixxf  10194  ioof  10267  fzf  10309  fzof  10441  gcdf  12623  eucalgf  12707  xpsff1o  13512  mgmplusf  13529  grpsubf  13742  lmodscaf  14406  txuni2  15067  txbasval  15078  cnmpt12  15098  cnmpt21  15102  cnmpt2t  15104  cnmpt22  15105  cnmptcom  15109  txswaphmeo  15132  blfvalps  15196  blfps  15220  blf  15221  bdmet  15313  xmetxp  15318  sgmf  15800