Theorem fmpo 6347

Description: Functionality, domain and range of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpo	|- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y   x, D, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem fmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpo.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	fmpox 6346	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D )
3		iunxpconst 4779	. . 3 |- U_ x e. A ( { x } X. B ) = ( A X. B )
4	3	feq2i 5467	. 2 |- ( F : U_ x e. A ( { x } X. B ) --> D <-> F : ( A X. B ) --> D )
5	2, 4	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B C e. D <-> F : ( A X. B ) --> D )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {csn 3666   U_ciun 3965   X. cxp 4717   -->wf 5314   e. cmpo 6003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287

This theorem is referenced by:  fnmpo  6348  ovmpoelrn  6353  fmpoco  6362  eroprf  6775  mapxpen  7009  subf  8348  xaddf  10040  ixxf  10094  ioof  10167  fzf  10208  fzof  10340  gcdf  12493  eucalgf  12577  xpsff1o  13382  mgmplusf  13399  grpsubf  13612  lmodscaf  14274  txuni2  14930  txbasval  14941  cnmpt12  14961  cnmpt21  14965  cnmpt2t  14967  cnmpt22  14968  cnmptcom  14972  txswaphmeo  14995  blfvalps  15059  blfps  15083  blf  15084  bdmet  15176  xmetxp  15181  sgmf  15660