Theorem fovcdm 6070

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovcdm	|- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4696	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. ( R X. S ) )
2		df-ov 5928	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
3		ffvelcdm 5698	. . . 4 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. C )
4	2, 3	eqeltrid 2283	. . 3 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
5	1, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
6	5	3impb 1201	1 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   e. wcel 2167   <.cop 3626   X. cxp 4662   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928

This theorem is referenced by:  fovcdmda  6071  fovcdmd  6072  ovmpoelrn  6274  mapxpen  6918  imasmnd2  13154  grpsubcl  13282  imasgrp2  13316  imasring  13696  psmetcl  14646  xmetcl  14672  metcl  14673  blssm  14741