Theorem fovcdm 6222

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 27-Aug-2006.)

Assertion

Ref	Expression
fovcdm	|- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Proof of Theorem fovcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4801	. . 3 |- ( ( A e. R /\ B e. S ) -> <. A , B >. e. ( R X. S ) )
2		df-ov 6078	. . . 4 |- ( A F B ) = ( F ` <. A , B >. )
3		ffvelcdm 5832	. . . 4 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( F ` <. A , B >. ) e. C )
4	2, 3	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ <. A , B >. e. ( R X. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
5	1, 4	sylan2 286	. 2 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ ( A e. R /\ B e. S ) ) -> ( A F B ) e. C )
6	5	3impb 1230	1 |- ( ( F : ( R X. S ) --> C /\ A e. R /\ B e. S ) -> ( A F B ) e. C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   e. wcel 2209   <.cop 3708   X. cxp 4767   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078

This theorem is referenced by:  fovcdmda  6223  fovcdmd  6224  ovmpoelrn  6433  mapxpen  7138  imasmnd2  13736  grpsubcl  13862  imasgrp2  13890  imasring  14342  psmetcl  15350  xmetcl  15376  metcl  15377  blssm  15445