Theorem ovmpoelrn 6262

Description: An operation's value belongs to its range. (Contributed by AV, 27-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovmpoelrn.o	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ovmpoelrn	⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝑂𝑌) ∈ 𝑀)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpoelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovmpoelrn.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	fmpo 6256	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑀 ↔ 𝑂:(𝐴 × 𝐵)⟶𝑀)
3		fovcdm 6063	. 2 ⊢ ((𝑂:(𝐴 × 𝐵)⟶𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝑂𝑌) ∈ 𝑀)
4	2, 3	syl3an1b 1285	1 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑀 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝑂𝑌) ∈ 𝑀)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   × cxp 4658  ⟶wf 5251  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196

This theorem is referenced by:  opifismgmdc  12957