ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgprprlemnkj Unicode version

Theorem caucvgprprlemnkj 7154
Description: Lemma for caucvgprpr 7174. Part of disjointness. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgprpr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> P. )
caucvgprpr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <P  ( ( F `
 k )  +P. 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )  /\  ( F `  k
)  <P  ( ( F `
 n )  +P. 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
) ) )
caucvgprprlemnkj.k  |-  ( ph  ->  K  e.  N. )
caucvgprprlemnkj.j  |-  ( ph  ->  J  e.  N. )
caucvgprprlemnkj.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
caucvgprprlemnkj  |-  ( ph  ->  -.  ( <. { p  |  p  <Q  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) ) } ,  { q  |  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <Q  q } >.  <P  ( F `  K )  /\  (
( F `  J
)  +P.  <. { p  |  p  <Q  ( *Q
`  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { q  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
q } >. )  <P 
<. { p  |  p 
<Q  S } ,  {
q  |  S  <Q  q } >. ) )
Distinct variable groups:    k, F, n    J, p, q    u, J    J, l    K, p, q    K, l    u, K    S, p, q    u, n    n, l, k    u, k    u, q    p, l
Allowed substitution hints:    ph( u, k, n, q, p, l)    S( u, k, n, l)    F( u, q, p, l)    J( k, n)    K( k, n)

Proof of Theorem caucvgprprlemnkj
StepHypRef Expression
1 caucvgprpr.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : N. --> P. )
2 caucvgprpr.cau . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <P  ( ( F `
 k )  +P. 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )  /\  ( F `  k
)  <P  ( ( F `
 n )  +P. 
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )
) ) )
3 caucvgprprlemnkj.k . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  N. )
4 caucvgprprlemnkj.j . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  N. )
5 caucvgprprlemnkj.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
61, 2, 3, 4, 5caucvgprprlemnkltj 7151 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  <N  J )  ->  -.  ( <. { p  |  p 
<Q  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
q  |  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) ) 
<Q  q } >.  <P  ( F `  K )  /\  ( ( F `  J )  +P.  <. { p  |  p  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { q  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
q } >. )  <P 
<. { p  |  p 
<Q  S } ,  {
q  |  S  <Q  q } >. ) )
71, 2, 3, 4, 5caucvgprprlemnkeqj 7152 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  =  J )  ->  -.  ( <. { p  |  p  <Q  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) ) } ,  { q  |  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  q } >.  <P 
( F `  K
)  /\  ( ( F `  J )  +P.  <. { p  |  p  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { q  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  q } >. )  <P  <. { p  |  p  <Q  S } ,  { q  |  S  <Q  q } >. )
)
81, 2, 3, 4, 5caucvgprprlemnjltk 7153 . 2  |-  ( (
ph  /\  J  <N  K )  ->  -.  ( <. { p  |  p 
<Q  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
q  |  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) ) 
<Q  q } >.  <P  ( F `  K )  /\  ( ( F `  J )  +P.  <. { p  |  p  <Q  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { q  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
q } >. )  <P 
<. { p  |  p 
<Q  S } ,  {
q  |  S  <Q  q } >. ) )
9 pitri3or 6784 . . 3  |-  ( ( K  e.  N.  /\  J  e.  N. )  ->  ( K  <N  J  \/  K  =  J  \/  J  <N  K ) )
103, 4, 9syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  <N  J  \/  K  =  J  \/  J  <N  K ) )
116, 7, 8, 10mpjao3dan 1239 1  |-  ( ph  ->  -.  ( <. { p  |  p  <Q  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) ) } ,  { q  |  ( S  +Q  ( *Q `  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <Q  q } >.  <P  ( F `  K )  /\  (
( F `  J
)  +P.  <. { p  |  p  <Q  ( *Q
`  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { q  |  ( *Q `  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
q } >. )  <P 
<. { p  |  p 
<Q  S } ,  {
q  |  S  <Q  q } >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ w3o 919    = wceq 1285    e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   <.cop 3425   class class class wbr 3811   -->wf 4965   ` cfv 4969  (class class class)co 5591   1oc1o 6106   [cec 6220   N.cnpi 6734    <N clti 6737    ~Q ceq 6741   Q.cnq 6742    +Q cplq 6744   *Qcrq 6746    <Q cltq 6747   P.cnp 6753    +P. cpp 6755    <P cltp 6757
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-plpq 6806  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889  df-mq0 6890  df-inp 6928  df-iplp 6930  df-iltp 6932
This theorem is referenced by:  caucvgprprlemdisj  7164
  Copyright terms: Public domain W3C validator