Theorem caucvgprprlemnkj 7754

Description: Lemma for caucvgprpr 7774. Part of disjointness. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprpr.f	|- ( ph -> F : N. --> P. )
caucvgprpr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <P ( ( F ` k ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) /\ ( F ` k ) <P ( ( F ` n ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) ) ) )
caucvgprprlemnkj.k	|- ( ph -> K e. N. )
caucvgprprlemnkj.j	|- ( ph -> J e. N. )
caucvgprprlemnkj.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprprlemnkj	|- ( ph -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )

Distinct variable groups:   k, F, n   J, p, q   u, J   J, l   K, p, q   K, l   u, K   S, p, q   u, n   n, l, k   u, k   u, q   p, l

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, q, p, l)   S( u, k, n, l)   F( u, q, p, l)   J( k, n)   K( k, n)

Proof of Theorem caucvgprprlemnkj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprpr.f	. . 3 |- ( ph -> F : N. --> P. )
2		caucvgprpr.cau	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <P ( ( F ` k ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) /\ ( F ` k ) <P ( ( F ` n ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) ) ) )
3		caucvgprprlemnkj.k	. . 3 |- ( ph -> K e. N. )
4		caucvgprprlemnkj.j	. . 3 |- ( ph -> J e. N. )
5		caucvgprprlemnkj.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Q. )
6	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnkltj 7751	. 2 |- ( ( ph /\ K <N J ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
7	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnkeqj 7752	. 2 |- ( ( ph /\ K = J ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
8	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnjltk 7753	. 2 |- ( ( ph /\ J <N K ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
9		pitri3or 7384	. . 3 |- ( ( K e. N. /\ J e. N. ) -> ( K <N J \/ K = J \/ J <N K ) )
10	3, 4, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( K <N J \/ K = J \/ J <N K ) )
11	6, 7, 8, 10	mpjao3dan 1318	1 |- ( ph -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   <.cop 3622   class class class wbr 4030   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1oc1o 6464   [cec 6587   N.cnpi 7334   <N clti 7337   ~Q ceq 7341   Q.cnq 7342   +Q cplq 7344   *Qcrq 7346   <Q cltq 7347   P.cnp 7353   +P. cpp 7355   <P cltp 7357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-pli 7367  df-mi 7368  df-lti 7369  df-plpq 7406  df-mpq 7407  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-plqqs 7411  df-mqqs 7412  df-1nqqs 7413  df-rq 7414  df-ltnqqs 7415  df-enq0 7486  df-nq0 7487  df-0nq0 7488  df-plq0 7489  df-mq0 7490  df-inp 7528  df-iplp 7530  df-iltp 7532

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemdisj  7764