Theorem caucvgprprlemnkj 7805

Description: Lemma for caucvgprpr 7825. Part of disjointness. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprpr.f	|- ( ph -> F : N. --> P. )
caucvgprpr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <P ( ( F ` k ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) /\ ( F ` k ) <P ( ( F ` n ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) ) ) )
caucvgprprlemnkj.k	|- ( ph -> K e. N. )
caucvgprprlemnkj.j	|- ( ph -> J e. N. )
caucvgprprlemnkj.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprprlemnkj	|- ( ph -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )

Distinct variable groups:   k, F, n   J, p, q   u, J   J, l   K, p, q   K, l   u, K   S, p, q   u, n   n, l, k   u, k   u, q   p, l

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, q, p, l)   S( u, k, n, l)   F( u, q, p, l)   J( k, n)   K( k, n)

Proof of Theorem caucvgprprlemnkj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprpr.f	. . 3 |- ( ph -> F : N. --> P. )
2		caucvgprpr.cau	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <P ( ( F ` k ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) /\ ( F ` k ) <P ( ( F ` n ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) ) ) )
3		caucvgprprlemnkj.k	. . 3 |- ( ph -> K e. N. )
4		caucvgprprlemnkj.j	. . 3 |- ( ph -> J e. N. )
5		caucvgprprlemnkj.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Q. )
6	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnkltj 7802	. 2 |- ( ( ph /\ K <N J ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
7	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnkeqj 7803	. 2 |- ( ( ph /\ K = J ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
8	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnjltk 7804	. 2 |- ( ( ph /\ J <N K ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
9		pitri3or 7435	. . 3 |- ( ( K e. N. /\ J e. N. ) -> ( K <N J \/ K = J \/ J <N K ) )
10	3, 4, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( K <N J \/ K = J \/ J <N K ) )
11	6, 7, 8, 10	mpjao3dan 1320	1 |- ( ph -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   <.cop 3636   class class class wbr 4044   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1oc1o 6495   [cec 6618   N.cnpi 7385   <N clti 7388   ~Q ceq 7392   Q.cnq 7393   +Q cplq 7395   *Qcrq 7397   <Q cltq 7398   P.cnp 7404   +P. cpp 7406   <P cltp 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-1o 6502  df-2o 6503  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-pli 7418  df-mi 7419  df-lti 7420  df-plpq 7457  df-mpq 7458  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-plqqs 7462  df-mqqs 7463  df-1nqqs 7464  df-rq 7465  df-ltnqqs 7466  df-enq0 7537  df-nq0 7538  df-0nq0 7539  df-plq0 7540  df-mq0 7541  df-inp 7579  df-iplp 7581  df-iltp 7583

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemdisj  7815