Theorem caucvgprprlemnkj 7900

Description: Lemma for caucvgprpr 7920. Part of disjointness. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgprpr.f	|- ( ph -> F : N. --> P. )
caucvgprpr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <P ( ( F ` k ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) /\ ( F ` k ) <P ( ( F ` n ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) ) ) )
caucvgprprlemnkj.k	|- ( ph -> K e. N. )
caucvgprprlemnkj.j	|- ( ph -> J e. N. )
caucvgprprlemnkj.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
caucvgprprlemnkj	|- ( ph -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )

Distinct variable groups:   k, F, n   J, p, q   u, J   J, l   K, p, q   K, l   u, K   S, p, q   u, n   n, l, k   u, k   u, q   p, l

Allowed substitution hints:   ph( u, k, n, q, p, l)   S( u, k, n, l)   F( u, q, p, l)   J( k, n)   K( k, n)

Proof of Theorem caucvgprprlemnkj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgprpr.f	. . 3 |- ( ph -> F : N. --> P. )
2		caucvgprpr.cau	. . 3 |- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <P ( ( F ` k ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) /\ ( F ` k ) <P ( ( F ` n ) +P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) ) ) )
3		caucvgprprlemnkj.k	. . 3 |- ( ph -> K e. N. )
4		caucvgprprlemnkj.j	. . 3 |- ( ph -> J e. N. )
5		caucvgprprlemnkj.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Q. )
6	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnkltj 7897	. 2 |- ( ( ph /\ K <N J ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
7	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnkeqj 7898	. 2 |- ( ( ph /\ K = J ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
8	1, 2, 3, 4, 5	caucvgprprlemnjltk 7899	. 2 |- ( ( ph /\ J <N K ) -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )
9		pitri3or 7530	. . 3 |- ( ( K e. N. /\ J e. N. ) -> ( K <N J \/ K = J \/ J <N K ) )
10	3, 4, 9	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( K <N J \/ K = J \/ J <N K ) )
11	6, 7, 8, 10	mpjao3dan 1341	1 |- ( ph -> -. ( <. { p | p <Q ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) } , { q | ( S +Q ( *Q ` [ <. K , 1o >. ] ~Q ) ) <Q q } >. <P ( F ` K ) /\ ( ( F ` J ) +P. <. { p | p <Q ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) } , { q | ( *Q ` [ <. J , 1o >. ] ~Q ) <Q q } >. ) <P <. { p | p <Q S } , { q | S <Q q } >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   <.cop 3670   class class class wbr 4084   -->wf 5318   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   1oc1o 6568   [cec 6693   N.cnpi 7480   <N clti 7483   ~Q ceq 7487   Q.cnq 7488   +Q cplq 7490   *Qcrq 7492   <Q cltq 7493   P.cnp 7499   +P. cpp 7501   <P cltp 7503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-eprel 4382  df-id 4386  df-po 4389  df-iso 4390  df-iord 4459  df-on 4461  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-irdg 6529  df-1o 6575  df-2o 6576  df-oadd 6579  df-omul 6580  df-er 6695  df-ec 6697  df-qs 6701  df-ni 7512  df-pli 7513  df-mi 7514  df-lti 7515  df-plpq 7552  df-mpq 7553  df-enq 7555  df-nqqs 7556  df-plqqs 7557  df-mqqs 7558  df-1nqqs 7559  df-rq 7560  df-ltnqqs 7561  df-enq0 7632  df-nq0 7633  df-0nq0 7634  df-plq0 7635  df-mq0 7636  df-inp 7674  df-iplp 7676  df-iltp 7678

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemdisj  7910