Theorem pitri3or 7455

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7442	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nntri3or 6592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ltpiord 7452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		biidd 172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ltpiord 7452	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	5, 6, 8	3orbi123d 1324	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
10	4, 9	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   class class class wbr 4051  ωcom 4646  Ncnpi 7405   <_N clti 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-br 4052  df-opab 4114  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-ni 7437  df-lti 7440

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7529  caucvgprlemnkj  7799  caucvgprlemnbj  7800  caucvgprprlemnkj  7825  caucvgprprlemnbj  7826  caucvgsr  7935