ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitri3or GIF version

Theorem pitri3or 7299
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitri3or ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or
StepHypRef Expression
1 pinn 7286 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 7286 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nntri3or 6487 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2an 289 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
5 ltpiord 7296 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
6 biidd 172 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
7 ltpiord 7296 . . . 4 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
87ancoms 268 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
95, 6, 83orbi123d 1311 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
104, 9mpbird 167 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  ωcom 4585  Ncnpi 7249   <N clti 7252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-eprel 4285  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-ni 7281  df-lti 7284
This theorem is referenced by:  nqtri3or  7373  caucvgprlemnkj  7643  caucvgprlemnbj  7644  caucvgprprlemnkj  7669  caucvgprprlemnbj  7670  caucvgsr  7779
  Copyright terms: Public domain W3C validator