ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitri3or GIF version

Theorem pitri3or 7031
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitri3or ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or
StepHypRef Expression
1 pinn 7018 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 7018 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nntri3or 6319 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2an 285 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
5 ltpiord 7028 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
6 biidd 171 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
7 ltpiord 7028 . . . 4 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
87ancoms 266 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
95, 6, 83orbi123d 1257 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
104, 9mpbird 166 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 929   = wceq 1299  wcel 1448   class class class wbr 3875  ωcom 4442  Ncnpi 6981   <N clti 6984
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-ni 7013  df-lti 7016
This theorem is referenced by:  nqtri3or  7105  caucvgprlemnkj  7375  caucvgprlemnbj  7376  caucvgprprlemnkj  7401  caucvgprprlemnbj  7402  caucvgsr  7497
  Copyright terms: Public domain W3C validator