Theorem pitri3or 7384

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7371	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nntri3or 6548	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ltpiord 7381	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		biidd 172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ltpiord 7381	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	5, 6, 8	3orbi123d 1322	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
10	4, 9	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4030  ωcom 4623  Ncnpi 7334   <_N clti 7337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-ni 7366  df-lti 7369

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7458  caucvgprlemnkj  7728  caucvgprlemnbj  7729  caucvgprprlemnkj  7754  caucvgprprlemnbj  7755  caucvgsr  7864