Theorem pitri3or 7389

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7376	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7376	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nntri3or 6551	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ltpiord 7386	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		biidd 172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ltpiord 7386	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	5, 6, 8	3orbi123d 1322	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
10	4, 9	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  ωcom 4626  Ncnpi 7339   <_N clti 7342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-ni 7371  df-lti 7374

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7463  caucvgprlemnkj  7733  caucvgprlemnbj  7734  caucvgprprlemnkj  7759  caucvgprprlemnbj  7760  caucvgsr  7869