ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitri3or GIF version

Theorem pitri3or 6802
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitri3or ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or
StepHypRef Expression
1 pinn 6789 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 6789 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nntri3or 6189 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
41, 2, 3syl2an 283 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
5 ltpiord 6799 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
6 biidd 170 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
7 ltpiord 6799 . . . 4 ((𝐵N𝐴N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
87ancoms 264 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐵 <N 𝐴𝐵𝐴))
95, 6, 83orbi123d 1245 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴)))
104, 9mpbird 165 1 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <N 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3o 921   = wceq 1287  wcel 1436   class class class wbr 3814  ωcom 4371  Ncnpi 6752   <N clti 6755
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-ni 6784  df-lti 6787
This theorem is referenced by:  nqtri3or  6876  caucvgprlemnkj  7146  caucvgprlemnbj  7147  caucvgprprlemnkj  7172  caucvgprprlemnbj  7173  caucvgsr  7268
  Copyright terms: Public domain W3C validator