Theorem pitri3or 7585

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7572	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7572	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nntri3or 6704	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		ltpiord 7582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6		biidd 172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
7		ltpiord 7582	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐴 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
8	7	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐵 <N 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
9	5, 6, 8	3orbi123d 1348	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴)))
10	4, 9	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <N 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093  ωcom 4694  Ncnpi 7535   <_N clti 7538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-ni 7567  df-lti 7570

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7659  caucvgprlemnkj  7929  caucvgprlemnbj  7930  caucvgprprlemnkj  7955  caucvgprprlemnbj  7956  caucvgsr  8065