Theorem nqtri3or 7606

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7558	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4089	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. u , v >. ] ~Q ) )
3		eqeq1 2236	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
4		breq2 4090	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) )
5	2, 3, 4	3orbi123d 1345	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) ) )
6		breq2 4090	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		eqeq2 2239	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = B ) )
8		breq1 4089	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q A <-> B <Q A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1345	. 2 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) <-> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) ) )
10		mulclpi 7538	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
11	10	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
12		mulclpi 7538	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
14		pitri3or 7532	. . . 4 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
16		ordpipqqs 7584	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) <N ( w .N u ) ) )
17		enqeceq 7569	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) = ( w .N u ) ) )
18		ordpipqqs 7584	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
19	18	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
20		mulcompig 7541	. . . . . . 7 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
21	20	ad2ant2lr 510	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
22		mulcompig 7541	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
23	22	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
24	21, 23	breq12d 4099	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) <N ( z .N v ) <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
25	19, 24	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
26	16, 17, 25	3orbi123d 1345	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) ) )
27	15, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6787	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3670   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   [cec 6695   N.cnpi 7482   .N cmi 7484   <N clti 7485   ~Q ceq 7489   Q.cnq 7490   <Q cltq 7495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-eprel 4384  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-mi 7516  df-lti 7517  df-enq 7557  df-nqqs 7558  df-ltnqqs 7563

This theorem is referenced by:  ltsonq  7608  nqtric  7609  addlocprlem  7745  nqprloc  7755  distrlem4prl  7794  distrlem4pru  7795  ltexprlemrl  7820  aptiprleml  7849  aptiprlemu  7850