Theorem nqtri3or 7337

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7289	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 3985	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. u , v >. ] ~Q ) )
3		eqeq1 2172	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
4		breq2 3986	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) )
5	2, 3, 4	3orbi123d 1301	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) ) )
6		breq2 3986	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		eqeq2 2175	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = B ) )
8		breq1 3985	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q A <-> B <Q A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1301	. 2 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) <-> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) ) )
10		mulclpi 7269	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
11	10	ad2ant2rl 503	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
12		mulclpi 7269	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 502	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
14		pitri3or 7263	. . . 4 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
16		ordpipqqs 7315	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) <N ( w .N u ) ) )
17		enqeceq 7300	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) = ( w .N u ) ) )
18		ordpipqqs 7315	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
19	18	ancoms 266	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
20		mulcompig 7272	. . . . . . 7 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
21	20	ad2ant2lr 502	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
22		mulcompig 7272	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
23	22	ad2ant2rl 503	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
24	21, 23	breq12d 3995	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) <N ( z .N v ) <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
25	19, 24	bitr4d 190	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
26	16, 17, 25	3orbi123d 1301	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) ) )
27	15, 26	mpbird 166	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6589	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ w3o 967   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   [cec 6499   N.cnpi 7213   .N cmi 7215   <N clti 7216   ~Q ceq 7220   Q.cnq 7221   <Q cltq 7226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-lti 7248  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-ltnqqs 7294

This theorem is referenced by:  ltsonq  7339  nqtric  7340  addlocprlem  7476  nqprloc  7486  distrlem4prl  7525  distrlem4pru  7526  ltexprlemrl  7551  aptiprleml  7580  aptiprlemu  7581