ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Unicode version

Theorem nqtri3or 6955
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6907 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3848 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  ) )
3 eqeq1 2094 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <->  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
4 breq2 3849 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) )
52, 3, 43orbi123d 1247 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) 
<->  ( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) ) )
6 breq2 3849 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
7 eqeq2 2097 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  =  B
) )
8 breq1 3848 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A  <->  B  <Q  A ) )
96, 7, 83orbi123d 1247 . 2  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A )  <->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) ) )
10 mulclpi 6887 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
1110ad2ant2rl 495 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  e.  N. )
12 mulclpi 6887 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
1312ad2ant2lr 494 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
14 pitri3or 6881 . . . 4  |-  ( ( ( z  .N  v
)  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  v )  <N  (
w  .N  u )  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u )  \/  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) )
16 ordpipqqs 6933 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
) ) )
17 enqeceq 6918 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u ) ) )
18 ordpipqqs 6933 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
1918ancoms 264 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
20 mulcompig 6890 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( u  .N  w ) )
2120ad2ant2lr 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( u  .N  w ) )
22 mulcompig 6890 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  =  ( v  .N  z ) )
2322ad2ant2rl 495 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  =  ( v  .N  z ) )
2421, 23breq12d 3858 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  u ) 
<N  ( z  .N  v
)  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
2519, 24bitr4d 189 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
2616, 17, 253orbi123d 1247 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) ) )
2715, 26mpbird 165 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
281, 5, 9, 272ecoptocl 6380 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3449   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   [cec 6290   N.cnpi 6831    .N cmi 6833    <N clti 6834    ~Q ceq 6838   Q.cnq 6839    <Q cltq 6844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-mi 6865  df-lti 6866  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-ltnqqs 6912
This theorem is referenced by:  ltsonq  6957  nqtric  6958  addlocprlem  7094  nqprloc  7104  distrlem4prl  7143  distrlem4pru  7144  ltexprlemrl  7169  aptiprleml  7198  aptiprlemu  7199
  Copyright terms: Public domain W3C validator