ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or Unicode version

Theorem nqtri3or 7211
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7163 . 2  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 breq1 3932 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  ) )
3 eqeq1 2146 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <->  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  ) )
4 breq2 3933 . . 3  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) )
52, 3, 43orbi123d 1289 . 2  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  A  -> 
( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) 
<->  ( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A ) ) )
6 breq2 3933 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A 
<Q  B ) )
7 eqeq2 2149 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( A  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  A  =  B
) )
8 breq1 3932 . . 3  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A  <->  B  <Q  A ) )
96, 7, 83orbi123d 1289 . 2  |-  ( [
<. u ,  v >. ]  ~Q  =  B  -> 
( ( A  <Q  [
<. u ,  v >. ]  ~Q  \/  A  =  [ <. u ,  v
>. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  A )  <->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) ) )
10 mulclpi 7143 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  e.  N. )
1110ad2ant2rl 502 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  e.  N. )
12 mulclpi 7143 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  e.  N. )
1312ad2ant2lr 501 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  e.  N. )
14 pitri3or 7137 . . . 4  |-  ( ( ( z  .N  v
)  e.  N.  /\  ( w  .N  u
)  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  v )  <N  (
w  .N  u )  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u )  \/  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) )
16 ordpipqqs 7189 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
) ) )
17 enqeceq 7174 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u ) ) )
18 ordpipqqs 7189 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
1918ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
20 mulcompig 7146 . . . . . . 7  |-  ( ( w  e.  N.  /\  u  e.  N. )  ->  ( w  .N  u
)  =  ( u  .N  w ) )
2120ad2ant2lr 501 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( w  .N  u )  =  ( u  .N  w ) )
22 mulcompig 7146 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  v  e.  N. )  ->  ( z  .N  v
)  =  ( v  .N  z ) )
2322ad2ant2rl 502 . . . . . 6  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( z  .N  v )  =  ( v  .N  z ) )
2421, 23breq12d 3942 . . . . 5  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( (
w  .N  u ) 
<N  ( z  .N  v
)  <->  ( u  .N  w )  <N  (
v  .N  z ) ) )
2519, 24bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( w  .N  u )  <N  (
z  .N  v ) ) )
2616, 17, 253orbi123d 1289 . . 3  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  <->  ( (
z  .N  v ) 
<N  ( w  .N  u
)  \/  ( z  .N  v )  =  ( w  .N  u
)  \/  ( w  .N  u )  <N 
( z  .N  v
) ) ) )
2715, 26mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( u  e.  N.  /\  v  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  \/  [ <. u ,  v >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
281, 5, 9, 272ecoptocl 6517 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  \/  A  =  B  \/  B  <Q  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 961    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   [cec 6427   N.cnpi 7087    .N cmi 7089    <N clti 7090    ~Q ceq 7094   Q.cnq 7095    <Q cltq 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-mi 7121  df-lti 7122  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-ltnqqs 7168
This theorem is referenced by:  ltsonq  7213  nqtric  7214  addlocprlem  7350  nqprloc  7360  distrlem4prl  7399  distrlem4pru  7400  ltexprlemrl  7425  aptiprleml  7454  aptiprlemu  7455
  Copyright terms: Public domain W3C validator