Theorem nqtri3or 7509

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7461	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4047	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. u , v >. ] ~Q ) )
3		eqeq1 2212	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
4		breq2 4048	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) )
5	2, 3, 4	3orbi123d 1324	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) ) )
6		breq2 4048	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		eqeq2 2215	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = B ) )
8		breq1 4047	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q A <-> B <Q A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1324	. 2 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) <-> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) ) )
10		mulclpi 7441	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
11	10	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
12		mulclpi 7441	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
14		pitri3or 7435	. . . 4 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
16		ordpipqqs 7487	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) <N ( w .N u ) ) )
17		enqeceq 7472	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) = ( w .N u ) ) )
18		ordpipqqs 7487	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
19	18	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
20		mulcompig 7444	. . . . . . 7 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
21	20	ad2ant2lr 510	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
22		mulcompig 7444	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
23	22	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
24	21, 23	breq12d 4057	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) <N ( z .N v ) <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
25	19, 24	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
26	16, 17, 25	3orbi123d 1324	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) ) )
27	15, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6710	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   [cec 6618   N.cnpi 7385   .N cmi 7387   <N clti 7388   ~Q ceq 7392   Q.cnq 7393   <Q cltq 7398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-mi 7419  df-lti 7420  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-ltnqqs 7466

This theorem is referenced by:  ltsonq  7511  nqtric  7512  addlocprlem  7648  nqprloc  7658  distrlem4prl  7697  distrlem4pru  7698  ltexprlemrl  7723  aptiprleml  7752  aptiprlemu  7753