Theorem nqtri3or 7397

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables u v w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7349	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4008	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. u , v >. ] ~Q ) )
3		eqeq1 2184	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = [ <. u , v >. ] ~Q ) )
4		breq2 4009	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) )
5	2, 3, 4	3orbi123d 1311	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) ) )
6		breq2 4009	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		eqeq2 2187	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( A = [ <. u , v >. ] ~Q <-> A = B ) )
8		breq1 4008	. . 3 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q A <-> B <Q A ) )
9	6, 7, 8	3orbi123d 1311	. 2 |- ( [ <. u , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ A = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q A ) <-> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) ) )
10		mulclpi 7329	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
11	10	ad2ant2rl 511	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
12		mulclpi 7329	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
13	12	ad2ant2lr 510	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
14		pitri3or 7323	. . . 4 |- ( ( ( z .N v ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
16		ordpipqqs 7375	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) <N ( w .N u ) ) )
17		enqeceq 7360	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q <-> ( z .N v ) = ( w .N u ) ) )
18		ordpipqqs 7375	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
19	18	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
20		mulcompig 7332	. . . . . . 7 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
21	20	ad2ant2lr 510	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) = ( u .N w ) )
22		mulcompig 7332	. . . . . . 7 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
23	22	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N v ) = ( v .N z ) )
24	21, 23	breq12d 4018	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( w .N u ) <N ( z .N v ) <-> ( u .N w ) <N ( v .N z ) ) )
25	19, 24	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) )
26	16, 17, 25	3orbi123d 1311	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( ( z .N v ) <N ( w .N u ) \/ ( z .N v ) = ( w .N u ) \/ ( w .N u ) <N ( z .N v ) ) ) )
27	15, 26	mpbird 167	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( u e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q <Q [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. z , w >. ] ~Q = [ <. u , v >. ] ~Q \/ [ <. u , v >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6625	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B \/ A = B \/ B <Q A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   [cec 6535   N.cnpi 7273   .N cmi 7275   <N clti 7276   ~Q ceq 7280   Q.cnq 7281   <Q cltq 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-lti 7308  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-ltnqqs 7354

This theorem is referenced by:  ltsonq  7399  nqtric  7400  addlocprlem  7536  nqprloc  7546  distrlem4prl  7585  distrlem4pru  7586  ltexprlemrl  7611  aptiprleml  7640  aptiprlemu  7641