Theorem pmfun 6695

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pmfun	|- ( F e. ( A ^pm B ) -> Fun F )

Proof of Theorem pmfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmi 6694	. 2 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )
2		ffun 5387	. . 3 |- ( F : dom F --> A -> Fun F )
3	2	adantr 276	. 2 |- ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) -> Fun F )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> Fun F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2160   C_ wss 3144   dom cdm 4644   Fun wfun 5229   -->wf 5231  (class class class)co 5897   ^pm cpm 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pm 6678

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12471  ennnfonelemf1  12472  lmbr2  14191  lmff  14226