Theorem pmfun 6570

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pmfun	|- ( F e. ( A ^pm B ) -> Fun F )

Proof of Theorem pmfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmi 6569	. 2 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) )
2		ffun 5283	. . 3 |- ( F : dom F --> A -> Fun F )
3	2	adantr 274	. 2 |- ( ( F : dom F --> A /\ dom F C_ B ) -> Fun F )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( F e. ( A ^pm B ) -> Fun F )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   C_ wss 3076   dom cdm 4547   Fun wfun 5125   -->wf 5127  (class class class)co 5782   ^pm cpm 6551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pm 6553

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  11966  ennnfonelemf1  11967  lmbr2  12422  lmff  12457