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Theorem lmbr2 12164
Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmbr2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u
Allowed substitution hints:   M( u, k)
Proof of Theorem lmbr2
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
21lmbr 12163 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) ) )
3 uzf 9179 . . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
4 ffn 5208 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
5 reseq2 4750 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
6 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> z = ( ZZ>= ` j ) )
75, 6feq12d 5198 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( ( F |` z ) : z --> u <-> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
87rexrn 5489 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
93, 4, 8mp2b 8 . . . . . . 7 |- ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u )
10 pmfun 6492 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( X ^pm CC ) -> Fun F )
1110ad2antrl 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> Fun F )
12 ffvresb 5515 . . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1413rexbidv 2397 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15 lmbr2.5 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
1615adantr 272 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> M e. ZZ )
17 lmbr2.4 . . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
1817rexuz3 10602 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1916, 18syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2014, 19bitr4d 190 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
219, 20syl5bb 191 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2221imbi2d 229 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2322ralbidv 2396 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2423pm5.32da 443 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
25 df-3an 932 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) )
26 df-3an 932 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2724, 25, 263bitr4g 222 . 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
282, 27bitrd 187 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 930   = wceq 1299   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   ~Pcpw 3457   class class class wbr 3875   dom cdm 4477   ran crn 4478   |` cres 4479   Fun wfun 5053   Fn wfn 5054   -->wf 5055   ` cfv 5059  (class class class)co 5706   ^pm cpm 6473   CCcc 7498   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176  TopOnctopon 11959   ~~> tclm 12138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pm 6475  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-top 11947  df-topon 11960  df-lm 12141
This theorem is referenced by:  lmbrf  12165  lmcvg  12167  lmres  12198  lmtopcnp  12200
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