ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lmbr2 Unicode version
Theorem lmbr2 14957
Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmbr2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u
Allowed substitution hints:   M( u, k)
Proof of Theorem lmbr2
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
21lmbr 14956 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) ) )
3 uzf 9758 . . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
4 ffn 5482 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
5 reseq2 5008 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
6 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> z = ( ZZ>= ` j ) )
75, 6feq12d 5472 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( ( F |` z ) : z --> u <-> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
87rexrn 5784 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
93, 4, 8mp2b 8 . . . . . . 7 |- ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u )
10 pmfun 6837 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( X ^pm CC ) -> Fun F )
1110ad2antrl 490 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> Fun F )
12 ffvresb 5810 . . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1413rexbidv 2533 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15 lmbr2.5 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
1615adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> M e. ZZ )
17 lmbr2.4 . . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
1817rexuz3 11568 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1916, 18syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2014, 19bitr4d 191 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
219, 20bitrid 192 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2221imbi2d 230 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2322ralbidv 2532 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2423pm5.32da 452 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
25 df-3an 1006 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) )
26 df-3an 1006 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2724, 25, 263bitr4g 223 . 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
282, 27bitrd 188 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   ran crn 4726   |` cres 4727   Fun wfun 5320   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   ^pm cpm 6818   CCcc 8030   ZZcz 9479   ZZ>=cuz 9755  TopOnctopon 14753   ~~> tclm 14930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-pm 6820  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-top 14741  df-topon 14754  df-lm 14933
This theorem is referenced by:  lmbrf  14958  lmcvg  14960  lmres  14991  lmtopcnp  14993
  Copyright terms: Public domain W3C validator