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Theorem lmbr2 12854
Description: Express the binary relation "sequence F converges to point P " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
lmbr2.4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
lmbr2.5 |- ( ph -> M e. ZZ )
Assertion
Ref Expression
lmbr2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   j, k, u, F   j, J, k, u   ph, j, k, u   j, Z, k, u   j, M   P, j, k, u   j, X, k, u
Allowed substitution hints:   M( u, k)
Proof of Theorem lmbr2
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
21lmbr 12853 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) ) )
3 uzf 9469 . . . . . . . 8 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
4 ffn 5337 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ -> ZZ>= Fn ZZ )
5 reseq2 4879 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( F |` z ) = ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) )
6 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> z = ( ZZ>= ` j ) )
75, 6feq12d 5327 . . . . . . . . 9 |- ( z = ( ZZ>= ` j ) -> ( ( F |` z ) : z --> u <-> ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
87rexrn 5622 . . . . . . . 8 |- ( ZZ>= Fn ZZ -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u ) )
93, 4, 8mp2b 8 . . . . . . 7 |- ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u )
10 pmfun 6634 . . . . . . . . . . 11 |- ( F e. ( X ^pm CC ) -> Fun F )
1110ad2antrl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> Fun F )
12 ffvresb 5648 . . . . . . . . . 10 |- ( Fun F -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1413rexbidv 2467 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
15 lmbr2.5 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
1615adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> M e. ZZ )
17 lmbr2.4 . . . . . . . . . 10 |- Z = ( ZZ>= ` M )
1817rexuz3 10932 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
1916, 18syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) <-> E. j e. ZZ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2014, 19bitr4d 190 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. j e. ZZ ( F |` ( ZZ>= ` j ) ) : ( ZZ>= ` j ) --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
219, 20syl5bb 191 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) )
2221imbi2d 229 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2322ralbidv 2466 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) <-> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2423pm5.32da 448 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
25 df-3an 970 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) )
26 df-3an 970 . . 3 |- ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) <-> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) )
2724, 25, 263bitr4g 222 . 2 |- ( ph -> ( ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. z e. ran ZZ>= ( F |` z ) : z --> u ) ) <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
282, 27bitrd 187 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( F e. ( X ^pm CC ) /\ P e. X /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( k e. dom F /\ ( F ` k ) e. u ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   ~Pcpw 3559   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   ran crn 4605   |` cres 4606   Fun wfun 5182   Fn wfn 5183   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ^pm cpm 6615   CCcc 7751   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466  TopOnctopon 12648   ~~> tclm 12827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pm 6617  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-top 12636  df-topon 12649  df-lm 12830
This theorem is referenced by:  lmbrf  12855  lmcvg  12857  lmres  12888  lmtopcnp  12890
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