Theorem ennnfonelemfun 12634

Description: Lemma for ennnfone 12642. L is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemfun	|- ( ph -> Fun L )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y, j   k, F, n, j   j, G   i, H   j, H, x, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( i, k, n)   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   H( k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( x, y, i, j, k, n)   N( i, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemfun

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12621	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	frnd 5417	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran H C_ ( A ^pm om ) )
10	9	sselda 3183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> s e. ( A ^pm om ) )
11		pmfun 6727	. . . . . 6 |- ( s e. ( A ^pm om ) -> Fun s )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> Fun s )
13	1	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
14	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> F : om -onto-> A )
15	3	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
16		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> s e. ran H )
17		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> t e. ran H )
18	13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 16, 17	ennnfonelemrnh 12633	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> ( s C_ t \/ t C_ s ) )
19	18	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) )
20	12, 19	jca 306	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) )
21	20	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( ph -> A. s e. ran H ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) )
22		fununi 5326	. . 3 |- ( A. s e. ran H ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) -> Fun U. ran H )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun U. ran H )
24		ennnfone.l	. . . 4 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
25	8	ffnd 5408	. . . . 5 |- ( ph -> H Fn NN0 )
26		fniunfv 5809	. . . . 5 |- ( H Fn NN0 -> U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U. ran H )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U. ran H )
28	24, 27	eqtrid 2241	. . 3 |- ( ph -> L = U. ran H )
29	28	funeqd 5280	. 2 |- ( ph -> ( Fun L <-> Fun U. ran H ) )
30	23, 29	mpbird 167	1 |- ( ph -> Fun L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   E.wrex 2476   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3450   ifcif 3561   {csn 3622   <.cop 3625   U.cuni 3839   U_ciun 3916   |-> cmpt 4094   suc csuc 4400   omcom 4626   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   ran crn 4664   "cima 4666   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924  freccfrec 6448   ^pm cpm 6708   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   - cmin 8197   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   seqcseq 10539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pm 6710  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540

This theorem is referenced by:  ennnfonelemf1  12635