Theorem ennnfonelemfun 11930

Description: Lemma for ennnfone 11938. L is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemfun	|- ( ph -> Fun L )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y, j   k, F, n, j   j, G   i, H   j, H, x, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( i, k, n)   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   H( k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( x, y, i, j, k, n)   N( i, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemfun

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 11917	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	frnd 5282	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran H C_ ( A ^pm om ) )
10	9	sselda 3097	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> s e. ( A ^pm om ) )
11		pmfun 6562	. . . . . 6 |- ( s e. ( A ^pm om ) -> Fun s )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> Fun s )
13	1	ad2antrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
14	2	ad2antrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> F : om -onto-> A )
15	3	ad2antrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
16		simplr 519	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> s e. ran H )
17		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> t e. ran H )
18	13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 16, 17	ennnfonelemrnh 11929	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> ( s C_ t \/ t C_ s ) )
19	18	ralrimiva 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) )
20	12, 19	jca 304	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) )
21	20	ralrimiva 2505	. . 3 |- ( ph -> A. s e. ran H ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) )
22		fununi 5191	. . 3 |- ( A. s e. ran H ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) -> Fun U. ran H )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun U. ran H )
24		ennnfone.l	. . . 4 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
25	8	ffnd 5273	. . . . 5 |- ( ph -> H Fn NN0 )
26		fniunfv 5663	. . . . 5 |- ( H Fn NN0 -> U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U. ran H )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U. ran H )
28	24, 27	syl5eq 2184	. . 3 |- ( ph -> L = U. ran H )
29	28	funeqd 5145	. 2 |- ( ph -> ( Fun L <-> Fun U. ran H ) )
30	23, 29	mpbird 166	1 |- ( ph -> Fun L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   u. cun 3069   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   U.cuni 3736   U_ciun 3813   |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540   "cima 4542   Fun wfun 5117   Fn wfn 5118   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   ^pm cpm 6543   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfonelemf1  11931