Theorem ennnfonelemfun 12372

Description: Lemma for ennnfone 12380. L is a function. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemfun	|- ( ph -> Fun L )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   x, F, y, j   k, F, n, j   j, G   i, H   j, H, x, y   j, J   x, N, y   ph, j, x, y

Allowed substitution hints:   ph( i, k, n)   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   H( k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( x, y, i, j, k, n)   N( i, j, k, n)

Proof of Theorem ennnfonelemfun

Dummy variables s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
2		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
3		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
4		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
5		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
6		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
7		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 |- H = seq 0 ( G , J )
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ennnfonelemh 12359	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H : NN0 --> ( A ^pm om ) )
9	8	frnd 5357	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran H C_ ( A ^pm om ) )
10	9	sselda 3147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> s e. ( A ^pm om ) )
11		pmfun 6646	. . . . . 6 |- ( s e. ( A ^pm om ) -> Fun s )
12	10, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> Fun s )
13	1	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
14	2	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> F : om -onto-> A )
15	3	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
16		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> s e. ran H )
17		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> t e. ran H )
18	13, 14, 15, 4, 5, 6, 7, 16, 17	ennnfonelemrnh 12371	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. ran H ) /\ t e. ran H ) -> ( s C_ t \/ t C_ s ) )
19	18	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) )
20	12, 19	jca 304	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ran H ) -> ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) )
21	20	ralrimiva 2543	. . 3 |- ( ph -> A. s e. ran H ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) )
22		fununi 5266	. . 3 |- ( A. s e. ran H ( Fun s /\ A. t e. ran H ( s C_ t \/ t C_ s ) ) -> Fun U. ran H )
23	21, 22	syl 14	. 2 |- ( ph -> Fun U. ran H )
24		ennnfone.l	. . . 4 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
25	8	ffnd 5348	. . . . 5 |- ( ph -> H Fn NN0 )
26		fniunfv 5741	. . . . 5 |- ( H Fn NN0 -> U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U. ran H )
27	25, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U. ran H )
28	24, 27	eqtrid 2215	. . 3 |- ( ph -> L = U. ran H )
29	28	funeqd 5220	. 2 |- ( ph -> ( Fun L <-> Fun U. ran H ) )
30	23, 29	mpbird 166	1 |- ( ph -> Fun L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   U_ciun 3873   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   ran crn 4612   "cima 4614   Fun wfun 5192   Fn wfn 5193   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855  freccfrec 6369   ^pm cpm 6627   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pm 6629  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  ennnfonelemf1  12373