Theorem pmfun 6805

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pmfun	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → Fun 𝐹)

Proof of Theorem pmfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmi 6804	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		ffun 5472	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) → Fun 𝐹)
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → Fun 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  dom cdm 4716  Fun wfun 5308  ⟶wf 5310  (class class class)co 5994   ↑_pm cpm 6786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-pm 6788

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  12974  ennnfonelemf1  12975  lmbr2  14873  lmff  14908