Theorem pmfun 6916

Description: A partial function is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pmfun	⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → Fun 𝐹)

Proof of Theorem pmfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpmi 6915	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
2		ffun 5517	. . 3 ⊢ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 → Fun 𝐹)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) → Fun 𝐹)
4	1, 3	syl 14	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → Fun 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  dom cdm 4755  Fun wfun 5352  ⟶wf 5354  (class class class)co 6059   ↑_pm cpm 6897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pm 6899

This theorem is referenced by:  ennnfonelemfun  13257  ennnfonelemf1  13258  lmbr2  15210  lmff  15245