Theorem fprodssdc 11901

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
fprodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodssdc.a	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
fprodss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
fprodss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fprodssdc	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k, j   ph, k   j, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j, k)

Proof of Theorem fprodssdc

Dummy variables f p m n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodss.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseq2 3217	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( A C_ B <-> A C_ (/) ) )
3		ss0 3501	. . . . 5 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
4	2, 3	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> A = (/) ) )
5		prodeq1 11864	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
6		prodeq1 11864	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> prod_ k e. B C = prod_ k e. (/) C )
7	6	eqcomd 2211	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> prod_ k e. (/) C = prod_ k e. B C )
8	5, 7	sylan9eq 2258	. . . . 5 |- ( ( A = (/) /\ B = (/) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
9	8	expcom 116	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
10	4, 9	syld 45	. . 3 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
11	1, 10	syl5com 29	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
12		cnvimass 5045	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
13		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
14		f1of 5522	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
16	12, 15	fssdm 5440	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
17		f1ofn 5523	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
18		elpreima 5699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
19	13, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
20	15	ffvelcdmda 5715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
22	21	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
23	19, 22	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
24	23	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
25		fprodss.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
28		eldif 3175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
29		fprodss.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
30		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
31	29, 30	eqeltrdi 2296	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
32	28, 31	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
33	32	expr 375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
34		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
35	34	dcbid 840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
36		fprodssdc.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. B DECID j e. A )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
39	35, 37, 38	rspcdva 2882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
40		exmiddc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
42	27, 33, 41	mpjaod 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
43	42	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
44	43	fmpttd 5735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
45	44	ffvelcdmda 5715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
46	24, 45	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
47		eqid 2205	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
48		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
49		nnuz 9684	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
50	48, 49	eleqtrdi 2298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
51		ssidd 3214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
52	47, 50, 51	fprodntrivap 11895	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> E. m e. ( ZZ>= ` 1 ) E. y ( y # 0 /\ seq m ( x. , ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> if ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) , ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) , 1 ) ) ) ~~> y ) )
53		eleq1 2268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( f ` p ) -> ( j e. A <-> ( f ` p ) e. A ) )
54	53	dcbid 840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( f ` p ) -> (DECID j e. A <-> DECID ( f ` p ) e. A ) )
55	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
56	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
57	56, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
58		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
59	57, 58	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` p ) e. B )
60	54, 55, 59	rspcdva 2882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID ( f ` p ) e. A )
61		f1ocnv 5535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> `' f : B -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
62		f1of1 5521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' f : B -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> `' f : B -1-1-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
63	56, 61, 62	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> `' f : B -1-1-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
64	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> A C_ B )
65		f1elima 5842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' f : B -1-1-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` p ) e. B /\ A C_ B ) -> ( ( `' f ` ( f ` p ) ) e. ( `' f " A ) <-> ( f ` p ) e. A ) )
66	63, 59, 64, 65	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( `' f ` ( f ` p ) ) e. ( `' f " A ) <-> ( f ` p ) e. A ) )
67		f1ocnvfv1 5846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` p ) ) = p )
68	56, 58, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` p ) ) = p )
69	68	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( `' f ` ( f ` p ) ) e. ( `' f " A ) <-> p e. ( `' f " A ) ) )
70	66, 69	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( f ` p ) e. A <-> p e. ( `' f " A ) ) )
71	70	dcbid 840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> (DECID ( f ` p ) e. A <-> DECID p e. ( `' f " A ) ) )
72	60, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID p e. ( `' f " A ) )
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
74		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
75	73, 74	ssneldd 3196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> -. p e. ( `' f " A ) )
76	75	olcd 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( p e. ( `' f " A ) \/ -. p e. ( `' f " A ) ) )
77		df-dc 837	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID p e. ( `' f " A ) <-> ( p e. ( `' f " A ) \/ -. p e. ( `' f " A ) ) )
78	76, 77	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID p e. ( `' f " A ) )
79		eluzelz 9657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) -> p e. ZZ )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. ZZ )
81		1zzd 9399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
82	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
83	82	nnzd 9494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
84		fzdcel 10162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
85	80, 81, 83, 84	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
86		exmiddc 838	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
88	72, 78, 87	mpjaodan 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID p e. ( `' f " A ) )
89	88	ralrimiva 2579	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. p e. ( ZZ>= ` 1 )DECID p e. ( `' f " A ) )
90		1zzd 9399	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> 1 e. ZZ )
91		eldifi 3295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
92	91, 20	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
93		eldifn 3296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
95	91	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
96	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
97	95, 96	mpbirand 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
98	94, 97	mtbid 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
99	92, 98	eldifd 3176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
100		difss 3299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
101		resmpt 5007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
102	100, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
103	102	fveq1i 5577	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
104		fvres 5600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
105	103, 104	eqtr3id 2252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
106	99, 105	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
107		1ex 8067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
108	107	elsn2 3667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 1 } <-> C = 1 )
109	29, 108	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 1 } )
110	109	fmpttd 5735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
111	110	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
112	111, 99	ffvelcdmd 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } )
113		elsni 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
115	106, 114	eqtr3d 2240	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
116		fzssuz 10187	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
117	116	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
118	85	ralrimiva 2579	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. p e. ( ZZ>= ` 1 )DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
119	16, 46, 52, 89, 90, 115, 117, 118	prodssdc 11900	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = prod_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
120	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
121	120	resmptd 5010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
122	121	fveq1d 5578	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
123		fvres 5600	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
124	122, 123	sylan9req 2259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
125	124	prodeq2dv 11877	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
126		fveq2 5576	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
127		fprodss.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
128	127	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> B e. Fin )
129	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
130		ssfidc 7034	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A. j e. B DECID j e. A ) -> A e. Fin )
131	128, 120, 129, 130	syl3anc 1250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A e. Fin )
132	120, 13, 131	preimaf1ofi 7053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
133		f1of1 5521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
134	13, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
135		f1ores 5537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
136	134, 16, 135	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
137		f1ofo 5529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
138	13, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
139		foimacnv 5540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
140	138, 120, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
141	140	f1oeq3d 5519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
142	136, 141	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
143		fvres 5600	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
144	143	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
145	120	sselda 3193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
146	44	ffvelcdmda 5715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
147	145, 146	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
148	126, 132, 142, 144, 147	fprodf1o 11899	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
149	125, 148	eqtrd 2238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
150	48	nnzd 9494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
151	90, 150	fzfigd 10576	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) e. Fin )
152		eqidd 2206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
153	126, 151, 13, 152, 146	fprodf1o 11899	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
154	119, 149, 153	3eqtr4d 2248	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
155	25	ralrimiva 2579	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
156	155	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. k e. A C e. CC )
157		prodfct 11898	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
158	156, 157	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
159	43	ralrimiva 2579	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. k e. B C e. CC )
160		prodfct 11898	. . . . . . 7 |- ( A. k e. B C e. CC -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
161	159, 160	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
162	154, 158, 161	3eqtr3d 2246	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
163	162	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
164	163	exlimdv 1842	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
165	164	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
166		fz1f1o 11686	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
167	127, 166	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
168	11, 165, 167	mpjaod 720	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   \ cdif 3163   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   |-> cmpt 4105   `'ccnv 4674   |` cres 4677   "cima 4678   Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Fincfn 6827   CCcc 7923   1c1 7926   NNcn 9036   ZZcz 9372   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130  ♯chash 10920   prod_cprod 11861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-proddc 11862

This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  11907