Theorem fprodssdc 12116

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodss.1	|- ( ph -> A C_ B )
fprodss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodssdc.a	|- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
fprodss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
fprodss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fprodssdc	|- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k, j   ph, k   j, k

Allowed substitution hints:   ph( j)   C( j, k)

Proof of Theorem fprodssdc

Dummy variables f p m n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodss.1	. . 3 |- ( ph -> A C_ B )
2		sseq2 3248	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( A C_ B <-> A C_ (/) ) )
3		ss0 3532	. . . . 5 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
4	2, 3	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> A = (/) ) )
5		prodeq1 12079	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
6		prodeq1 12079	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> prod_ k e. B C = prod_ k e. (/) C )
7	6	eqcomd 2235	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> prod_ k e. (/) C = prod_ k e. B C )
8	5, 7	sylan9eq 2282	. . . . 5 |- ( ( A = (/) /\ B = (/) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
9	8	expcom 116	. . . 4 |- ( B = (/) -> ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
10	4, 9	syld 45	. . 3 |- ( B = (/) -> ( A C_ B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
11	1, 10	syl5com 29	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
12		cnvimass 5091	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
13		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
14		f1of 5574	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
15	13, 14	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
16	12, 15	fssdm 5488	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
17		f1ofn 5575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
18		elpreima 5756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
19	13, 17, 18	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
20	15	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
21	20	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
22	21	adantrd 279	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
23	19, 22	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
24	23	imp 124	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
25		fprodss.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
28		eldif 3206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
29		fprodss.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 1 )
30		ax-1cn 8103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
31	29, 30	eqeltrdi 2320	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
32	28, 31	sylan2br 288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
33	32	expr 375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
34		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
35	34	dcbid 843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
36		fprodssdc.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. j e. B DECID j e. A )
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> A. j e. B DECID j e. A )
38		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> k e. B )
39	35, 37, 38	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> DECID k e. A )
40		exmiddc 841	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (DECID k e. A -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A \/ -. k e. A ) )
42	27, 33, 41	mpjaod 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
43	42	adantlr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
44	43	fmpttd 5792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
45	44	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
46	24, 45	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
47		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( ZZ>= ` 1 )
48		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
49		nnuz 9770	. . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
50	48, 49	eleqtrdi 2322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
51		ssidd 3245	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
52	47, 50, 51	fprodntrivap 12110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> E. m e. ( ZZ>= ` 1 ) E. y ( y # 0 /\ seq m ( x. , ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) |-> if ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) , ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) , 1 ) ) ) ~~> y ) )
53		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( f ` p ) -> ( j e. A <-> ( f ` p ) e. A ) )
54	53	dcbid 843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( f ` p ) -> (DECID j e. A <-> DECID ( f ` p ) e. A ) )
55	36	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
56	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B )
57	56, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) --> B )
58		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
59	57, 58	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` p ) e. B )
60	54, 55, 59	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID ( f ` p ) e. A )
61		f1ocnv 5587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> `' f : B -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
62		f1of1 5573	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( `' f : B -1-1-onto-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> `' f : B -1-1-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
63	56, 61, 62	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> `' f : B -1-1-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
64	1	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> A C_ B )
65		f1elima 5903	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' f : B -1-1-> ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` p ) e. B /\ A C_ B ) -> ( ( `' f ` ( f ` p ) ) e. ( `' f " A ) <-> ( f ` p ) e. A ) )
66	63, 59, 64, 65	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( `' f ` ( f ` p ) ) e. ( `' f " A ) <-> ( f ` p ) e. A ) )
67		f1ocnvfv1 5907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` p ) ) = p )
68	56, 58, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( `' f ` ( f ` p ) ) = p )
69	68	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( `' f ` ( f ` p ) ) e. ( `' f " A ) <-> p e. ( `' f " A ) ) )
70	66, 69	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( ( f ` p ) e. A <-> p e. ( `' f " A ) ) )
71	70	dcbid 843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> (DECID ( f ` p ) e. A <-> DECID p e. ( `' f " A ) ) )
72	60, 71	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID p e. ( `' f " A ) )
73	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
74		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
75	73, 74	ssneldd 3227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> -. p e. ( `' f " A ) )
76	75	olcd 739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( p e. ( `' f " A ) \/ -. p e. ( `' f " A ) ) )
77		df-dc 840	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID p e. ( `' f " A ) <-> ( p e. ( `' f " A ) \/ -. p e. ( `' f " A ) ) )
78	76, 77	sylibr 134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) /\ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> DECID p e. ( `' f " A ) )
79		eluzelz 9743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) -> p e. ZZ )
80	79	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> p e. ZZ )
81		1zzd 9484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
82	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. NN )
83	82	nnzd 9579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
84		fzdcel 10248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. ZZ ) -> DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
85	80, 81, 83, 84	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
86		exmiddc 841	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) \/ -. p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) )
88	72, 78, 87	mpjaodan 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ p e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> DECID p e. ( `' f " A ) )
89	88	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. p e. ( ZZ>= ` 1 )DECID p e. ( `' f " A ) )
90		1zzd 9484	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> 1 e. ZZ )
91		eldifi 3326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
92	91, 20	sylan2 286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
93		eldifn 3327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
94	93	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
95	91	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
96	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
97	95, 96	mpbirand 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
98	94, 97	mtbid 676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
99	92, 98	eldifd 3207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
100		difss 3330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
101		resmpt 5053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
102	100, 101	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
103	102	fveq1i 5630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
104		fvres 5653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
105	103, 104	eqtr3id 2276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
106	99, 105	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
107		1ex 8152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
108	107	elsn2 3700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 1 } <-> C = 1 )
109	29, 108	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 1 } )
110	109	fmpttd 5792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
111	110	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 1 } )
112	111, 99	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } )
113		elsni 3684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 1 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
115	106, 114	eqtr3d 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... (♯ ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 1 )
116		fzssuz 10273	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
117	116	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
118	85	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. p e. ( ZZ>= ` 1 )DECID p e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) )
119	16, 46, 52, 89, 90, 115, 117, 118	prodssdc 12115	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = prod_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
120	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
121	120	resmptd 5056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
122	121	fveq1d 5631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
123		fvres 5653	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
124	122, 123	sylan9req 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
125	124	prodeq2dv 12092	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
126		fveq2 5629	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
127		fprodss.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. Fin )
128	127	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> B e. Fin )
129	36	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. j e. B DECID j e. A )
130		ssfidc 7110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. Fin /\ A C_ B /\ A. j e. B DECID j e. A ) -> A e. Fin )
131	128, 120, 129, 130	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A e. Fin )
132	120, 13, 131	preimaf1ofi 7129	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
133		f1of1 5573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
134	13, 133	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B )
135		f1ores 5589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
136	134, 16, 135	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
137		f1ofo 5581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
138	13, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B )
139		foimacnv 5592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
140	138, 120, 139	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
141	140	f1oeq3d 5571	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
142	136, 141	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
143		fvres 5653	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
144	143	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
145	120	sselda 3224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
146	44	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
147	145, 146	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
148	126, 132, 142, 144, 147	fprodf1o 12114	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
149	125, 148	eqtrd 2262	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
150	48	nnzd 9579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> (♯ ` B ) e. ZZ )
151	90, 150	fzfigd 10665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... (♯ ` B ) ) e. Fin )
152		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
153	126, 151, 13, 152, 146	fprodf1o 12114	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ n e. ( 1 ... (♯ ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
154	119, 149, 153	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
155	25	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. k e. A C e. CC )
156	155	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. k e. A C e. CC )
157		prodfct 12113	. . . . . . 7 |- ( A. k e. A C e. CC -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
158	156, 157	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C )
159	43	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A. k e. B C e. CC )
160		prodfct 12113	. . . . . . 7 |- ( A. k e. B C e. CC -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
161	159, 160	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = prod_ k e. B C )
162	154, 158, 161	3eqtr3d 2270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( (♯ ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )
163	162	expr 375	. . . 4 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
164	163	exlimdv 1865	. . 3 |- ( ( ph /\ (♯ ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
165	164	expimpd 363	. 2 |- ( ph -> ( ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C ) )
166		fz1f1o 11901	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
167	127, 166	syl 14	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( (♯ ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... (♯ ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
168	11, 165, 167	mpjaod 723	1 |- ( ph -> prod_ k e. A C = prod_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3194   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666   |-> cmpt 4145   `'ccnv 4718   |` cres 4721   "cima 4722   Fn wfn 5313   -->wf 5314   -1-1->wf1 5315   -onto->wfo 5316   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   CCcc 8008   1c1 8011   NNcn 9121   ZZcz 9457   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216  ♯chash 11009   prod_cprod 12076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-ihash 11010  df-cj 11368  df-re 11369  df-im 11370  df-rsqrt 11524  df-abs 11525  df-clim 11805  df-proddc 12077

This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  12122