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Theorem fprodssdc 11564
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
fprodss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fprodssdc.a  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
fprodss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
fprodss.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fprodssdc  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, j, k    B, k, j    ph, k    j, k
Allowed substitution hints:    ph( j)    C( j,
k)

Proof of Theorem fprodssdc
Dummy variables  f  p  m  n  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodss.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 sseq2 3177 . . . . 5  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
C_  B  <->  A  C_  (/) ) )
3 ss0 3461 . . . . 5  |-  ( A 
C_  (/)  ->  A  =  (/) )
42, 3syl6bi 163 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
C_  B  ->  A  =  (/) ) )
5 prodeq1 11527 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
6 prodeq1 11527 . . . . . . 7  |-  ( B  =  (/)  ->  prod_ k  e.  B  C  =  prod_ k  e.  (/)  C )
76eqcomd 2181 . . . . . 6  |-  ( B  =  (/)  ->  prod_ k  e.  (/)  C  =  prod_ k  e.  B  C )
85, 7sylan9eq 2228 . . . . 5  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C )
98expcom 116 . . . 4  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C
) )
104, 9syld 45 . . 3  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A 
C_  B  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C ) )
111, 10syl5com 29 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C ) )
12 cnvimass 4984 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " A ) 
C_  dom  f
13 simprr 531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
14 f1of 5453 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
1513, 14syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
1612, 15fssdm 5372 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  C_  (
1 ... ( `  B
) ) )
17 f1ofn 5454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f  Fn  (
1 ... ( `  B
) ) )
18 elpreima 5627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( `  B )
)  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
1913, 17, 183syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
2015ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
2120ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  ->  (
f `  n )  e.  B ) )
2221adantrd 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2319, 22sylbid 150 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2423imp 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
25 fprodss.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2625ex 115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2726adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
28 eldif 3136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
29 fprodss.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
1 )
30 ax-1cn 7879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
3129, 30eqeltrdi 2266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
3228, 31sylan2br 288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
3332expr 375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
34 eleq1 2238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
3534dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
36 fprodssdc.a . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
3736adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A
)
38 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  B )
3935, 37, 38rspcdva 2844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  -> DECID  k  e.  A
)
40 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (DECID  k  e.  A  ->  ( k  e.  A  \/  -.  k  e.  A )
)
4139, 40syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  \/  -.  k  e.  A
) )
4227, 33, 41mpjaod 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4342adantlr 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
4443fmpttd 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
4544ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  ( f `
 n )  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  CC )
4624, 45syldan 282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  e.  CC )
47 eqid 2175 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
48 simprl 529 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  NN )
49 nnuz 9534 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5048, 49eleqtrdi 2268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
51 ssidd 3174 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  C_  ( 1 ... ( `  B ) ) )
5247, 50, 51fprodntrivap 11558 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  E. m  e.  ( ZZ>=
`  1 ) E. y ( y #  0  /\  seq m (  x.  ,  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  |->  if ( n  e.  ( 1 ... ( `  B )
) ,  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) ,  1 ) ) )  ~~>  y ) )
53 eleq1 2238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( f `  p )  ->  (
j  e.  A  <->  ( f `  p )  e.  A
) )
5453dcbid 838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( f `  p )  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  ( f `  p
)  e.  A ) )
5536ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
5613ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )
5756, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) --> B )
58 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  p  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
5957, 58ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  p )  e.  B
)
6054, 55, 59rspcdva 2844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
( f `  p
)  e.  A )
61 f1ocnv 5466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  `' f : B -1-1-onto-> ( 1 ... ( `  B ) ) )
62 f1of1 5452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f : B -1-1-onto-> ( 1 ... ( `  B
) )  ->  `' f : B -1-1-> ( 1 ... ( `  B
) ) )
6356, 61, 623syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  `' f : B -1-1-> ( 1 ... ( `  B )
) )
641ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  A  C_  B
)
65 f1elima 5764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' f : B -1-1-> ( 1 ... ( `  B
) )  /\  (
f `  p )  e.  B  /\  A  C_  B )  ->  (
( `' f `  ( f `  p
) )  e.  ( `' f " A
)  <->  ( f `  p )  e.  A
) )
6663, 59, 64, 65syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( ( `' f `  ( f `
 p ) )  e.  ( `' f
" A )  <->  ( f `  p )  e.  A
) )
67 f1ocnvfv1 5768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( `' f `
 ( f `  p ) )  =  p )
6856, 58, 67syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( `' f `
 ( f `  p ) )  =  p )
6968eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( ( `' f `  ( f `
 p ) )  e.  ( `' f
" A )  <->  p  e.  ( `' f " A
) ) )
7066, 69bitr3d 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( ( f `
 p )  e.  A  <->  p  e.  ( `' f " A
) ) )
7170dcbid 838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  (DECID  ( f `  p
)  e.  A  <-> DECID  p  e.  ( `' f " A
) ) )
7260, 71mpbid 147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
p  e.  ( `' f " A ) )
7316ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( `' f
" A )  C_  ( 1 ... ( `  B ) ) )
74 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  -.  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
7573, 74ssneldd 3156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  -.  p  e.  ( `' f " A
) )
7675olcd 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( p  e.  ( `' f " A )  \/  -.  p  e.  ( `' f " A ) ) )
77 df-dc 835 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  p  e.  ( `' f " A )  <->  ( p  e.  ( `' f " A )  \/  -.  p  e.  ( `' f " A ) ) )
7876, 77sylibr 134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  -.  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  -> DECID 
p  e.  ( `' f " A ) )
79 eluzelz 9508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  p  e.  ZZ )
8079adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  p  e.  ZZ )
81 1zzd 9251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  1  e.  ZZ )
8248adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  NN )
8382nnzd 9345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( `  B
)  e.  ZZ )
84 fzdcel 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  ( `  B )  e.  ZZ )  -> DECID 
p  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) )
8580, 81, 83, 84syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  p  e.  (
1 ... ( `  B
) ) )
86 exmiddc 836 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  -> 
( p  e.  ( 1 ... ( `  B
) )  \/  -.  p  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( p  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  \/ 
-.  p  e.  ( 1 ... ( `  B
) ) ) )
8872, 78, 87mpjaodan 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  -> DECID  p  e.  ( `' f " A
) )
8988ralrimiva 2548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. p  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  p  e.  ( `' f " A ) )
90 1zzd 9251 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
1  e.  ZZ )
91 eldifi 3255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
9291, 20sylan2 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
93 eldifn 3256 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
9493adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
9591adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
9619adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
9795, 96mpbirand 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( n  e.  ( `' f " A )  <->  ( f `  n )  e.  A
) )
9894, 97mtbid 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  -.  (
f `  n )  e.  A )
9992, 98eldifd 3137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( f `  n )  e.  ( B  \  A ) )
100 difss 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  A )  C_  B
101 resmpt 4948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) )
102100, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C )
103102fveq1i 5508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )
104 fvres 5531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
105103, 104eqtr3id 2222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
10699, 105syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
107 1ex 7927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
108107elsn2 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  { 1 }  <-> 
C  =  1 )
10929, 108sylibr 134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  { 1 } )
110109fmpttd 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 1 } )
111110ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) : ( B  \  A
) --> { 1 } )
112111, 99ffvelcdmd 5644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  e.  { 1 } )
113 elsni 3607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  { 1 }  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  1 )
114112, 113syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  1 )
115106, 114eqtr3d 2210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( `  B )
)  \  ( `' f " A ) ) )  ->  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  1 )
116 fzssuz 10033 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
117116a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  C_  ( ZZ>= `  1 )
)
11885ralrimiva 2548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. p  e.  ( ZZ>=
`  1 )DECID  p  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )
11916, 46, 52, 89, 90, 115, 117, 118prodssdc 11563 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  prod_ n  e.  ( 1 ... ( `  B )
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
1201adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  C_  B )
121120resmptd 4951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
122121fveq1d 5509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
123 fvres 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
124122, 123sylan9req 2229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
125124prodeq2dv 11540 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  prod_ m  e.  A  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
126 fveq2 5507 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
127 fprodss.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
128127adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  B  e.  Fin )
12936adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )
130 ssfidc 6924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  C_  B  /\  A. j  e.  B DECID  j  e.  A )  ->  A  e.  Fin )
131128, 120, 129, 130syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  e.  Fin )
132120, 13, 131preimaf1ofi 6940 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `' f " A )  e.  Fin )
133 f1of1 5452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
13413, 133syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B )
135 f1ores 5468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-> B  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( `  B
) ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
136134, 16, 135syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
137 f1ofo 5460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( `  B )
)
-1-1-onto-> B  ->  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
13813, 137syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B )
139 foimacnv 5471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( `  B
) ) -onto-> B  /\  A  C_  B )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
140138, 120, 139syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
141140f1oeq3d 5450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
142136, 141mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> A )
143 fvres 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( `' f
" A )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
144143adantl 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
145120sselda 3153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
14644ffvelcdmda 5643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  B )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
147145, 146syldan 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  e.  CC )
148126, 132, 142, 144, 147fprodf1o 11562 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  prod_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
149125, 148eqtrd 2208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  prod_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
15048nnzd 9345 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( `  B )  e.  ZZ )
15190, 150fzfigd 10399 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  -> 
( 1 ... ( `  B ) )  e. 
Fin )
152 eqidd 2176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) )  ->  ( f `  n )  =  ( f `  n ) )
153126, 151, 13, 152, 146fprodf1o 11562 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  prod_ n  e.  ( 1 ... ( `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
154119, 149, 1533eqtr4d 2218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  prod_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
15525ralrimiva 2548 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
156155adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
157 prodfct 11561 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  A  C  e.  CC  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  A  C )
158156, 157syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m
)  =  prod_ k  e.  A  C )
15943ralrimiva 2548 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
160 prodfct 11561 . . . . . . 7  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  prod_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 m )  = 
prod_ k  e.  B  C )
161159, 160syl 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  prod_ k  e.  B  C )
162154, 158, 1613eqtr3d 2216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
163162expr 375 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( `  B ) ) -1-1-onto-> B  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C ) )
164163exlimdv 1817 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( `  B
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C ) )
165164expimpd 363 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B )  ->  prod_ k  e.  A  C  = 
prod_ k  e.  B  C ) )
166 fz1f1o 11349 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =  (/)  \/  (
( `  B )  e.  NN  /\  E. f 
f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
167127, 166syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  \/  ( ( `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( `  B
) ) -1-1-onto-> B ) ) )
16811, 165, 167mpjaod 718 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  A  C  =  prod_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146   A.wral 2453    \ cdif 3124    C_ wss 3127   (/)c0 3420   {csn 3589    |-> cmpt 4059   `'ccnv 4619    |` cres 4622   "cima 4623    Fn wfn 5203   -->wf 5204   -1-1->wf1 5205   -onto->wfo 5206   -1-1-onto->wf1o 5207   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   Fincfn 6730   CCcc 7784   1c1 7787   NNcn 8890   ZZcz 9224   ZZ>=cuz 9499   ...cfz 9977  ♯chash 10721   prod_cprod 11524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-clim 11253  df-proddc 11525
This theorem is referenced by:  fprodsplitdc  11570
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