Theorem fidcenumlemim 7013

Description: Lemma for fidcenum 7017. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	|- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 6927	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1206	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2576	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		isfi 6817	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
5		ensym 6837	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> n ~~ A )
6		bren 6803	. . . . . 6 |- ( n ~~ A <-> E. f f : n -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5508	. . . . . . 7 |- ( f : n -1-1-onto-> A -> f : n -onto-> A )
8	7	eximi 1611	. . . . . 6 |- ( E. f f : n -1-1-onto-> A -> E. f f : n -onto-> A )
9	6, 8	sylbi 121	. . . . 5 |- ( n ~~ A -> E. f f : n -onto-> A )
10	5, 9	syl 14	. . . 4 |- ( A ~~ n -> E. f f : n -onto-> A )
11	10	reximi 2591	. . 3 |- ( E. n e. om A ~~ n -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
12	4, 11	sylbi 121	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
13	3, 12	jca 306	1 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   class class class wbr 4030   omcom 4623   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ~~ cen 6794   Fincfn 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by:  fidcenum  7017