ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenumlemim Unicode version

Theorem fidcenumlemim 6927
Description: Lemma for fidcenum 6931. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemim  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Distinct variable groups:    A, f, n   
x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim
StepHypRef Expression
1 fidceq 6845 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  -> DECID  x  =  y )
213expb 1199 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  -> DECID  x  =  y
)
32ralrimivva 2552 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
4 isfi 6737 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
5 ensym 6757 . . . . 5  |-  ( A 
~~  n  ->  n  ~~  A )
6 bren 6723 . . . . . 6  |-  ( n 
~~  A  <->  E. f 
f : n -1-1-onto-> A )
7 f1ofo 5447 . . . . . . 7  |-  ( f : n -1-1-onto-> A  ->  f :
n -onto-> A )
87eximi 1593 . . . . . 6  |-  ( E. f  f : n -1-1-onto-> A  ->  E. f  f : n -onto-> A )
96, 8sylbi 120 . . . . 5  |-  ( n 
~~  A  ->  E. f 
f : n -onto-> A )
105, 9syl 14 . . . 4  |-  ( A 
~~  n  ->  E. f 
f : n -onto-> A )
1110reximi 2567 . . 3  |-  ( E. n  e.  om  A  ~~  n  ->  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )
124, 11sylbi 120 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )
133, 12jca 304 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 829   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   class class class wbr 3987   omcom 4572   -onto->wfo 5194   -1-1-onto->wf1o 5195    ~~ cen 6714   Fincfn 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-er 6511  df-en 6717  df-fin 6719
This theorem is referenced by:  fidcenum  6931
  Copyright terms: Public domain W3C validator