Theorem fidcenumlemim 6848

Description: Lemma for fidcenum 6852. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	|- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 6771	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1183	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2517	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		isfi 6663	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
5		ensym 6683	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> n ~~ A )
6		bren 6649	. . . . . 6 |- ( n ~~ A <-> E. f f : n -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5382	. . . . . . 7 |- ( f : n -1-1-onto-> A -> f : n -onto-> A )
8	7	eximi 1580	. . . . . 6 |- ( E. f f : n -1-1-onto-> A -> E. f f : n -onto-> A )
9	6, 8	sylbi 120	. . . . 5 |- ( n ~~ A -> E. f f : n -onto-> A )
10	5, 9	syl 14	. . . 4 |- ( A ~~ n -> E. f f : n -onto-> A )
11	10	reximi 2532	. . 3 |- ( E. n e. om A ~~ n -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
12	4, 11	sylbi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
13	3, 12	jca 304	1 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   class class class wbr 3937   omcom 4512   -onto->wfo 5129   -1-1-onto->wf1o 5130   ~~ cen 6640   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  fidcenum  6852