ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenumlemim Unicode version

Theorem fidcenumlemim 6980
Description: Lemma for fidcenum 6984. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemim  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Distinct variable groups:    A, f, n   
x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim
StepHypRef Expression
1 fidceq 6896 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  -> DECID  x  =  y )
213expb 1206 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  -> DECID  x  =  y
)
32ralrimivva 2572 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
4 isfi 6786 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
5 ensym 6806 . . . . 5  |-  ( A 
~~  n  ->  n  ~~  A )
6 bren 6772 . . . . . 6  |-  ( n 
~~  A  <->  E. f 
f : n -1-1-onto-> A )
7 f1ofo 5487 . . . . . . 7  |-  ( f : n -1-1-onto-> A  ->  f :
n -onto-> A )
87eximi 1611 . . . . . 6  |-  ( E. f  f : n -1-1-onto-> A  ->  E. f  f : n -onto-> A )
96, 8sylbi 121 . . . . 5  |-  ( n 
~~  A  ->  E. f 
f : n -onto-> A )
105, 9syl 14 . . . 4  |-  ( A 
~~  n  ->  E. f 
f : n -onto-> A )
1110reximi 2587 . . 3  |-  ( E. n  e.  om  A  ~~  n  ->  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )
124, 11sylbi 121 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )
133, 12jca 306 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 835   E.wex 1503    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018   omcom 4607   -onto->wfo 5233   -1-1-onto->wf1o 5234    ~~ cen 6763   Fincfn 6765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-er 6558  df-en 6766  df-fin 6768
This theorem is referenced by:  fidcenum  6984
  Copyright terms: Public domain W3C validator