Theorem fidcenumlemim 6917

Description: Lemma for fidcenum 6921. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	|- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 6835	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1194	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2548	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		isfi 6727	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
5		ensym 6747	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> n ~~ A )
6		bren 6713	. . . . . 6 |- ( n ~~ A <-> E. f f : n -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5439	. . . . . . 7 |- ( f : n -1-1-onto-> A -> f : n -onto-> A )
8	7	eximi 1588	. . . . . 6 |- ( E. f f : n -1-1-onto-> A -> E. f f : n -onto-> A )
9	6, 8	sylbi 120	. . . . 5 |- ( n ~~ A -> E. f f : n -onto-> A )
10	5, 9	syl 14	. . . 4 |- ( A ~~ n -> E. f f : n -onto-> A )
11	10	reximi 2563	. . 3 |- ( E. n e. om A ~~ n -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
12	4, 11	sylbi 120	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
13	3, 12	jca 304	1 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   class class class wbr 3982   omcom 4567   -onto->wfo 5186   -1-1-onto->wf1o 5187   ~~ cen 6704   Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  fidcenum  6921