ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fidcenumlemim Unicode version

Theorem fidcenumlemim 6715
Description: Lemma for fidcenum 6719. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
fidcenumlemim  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Distinct variable groups:    A, f, n   
x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim
StepHypRef Expression
1 fidceq 6639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  -> DECID  x  =  y )
213expb 1145 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  -> DECID  x  =  y
)
32ralrimivva 2456 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
4 isfi 6532 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  <->  E. n  e.  om  A  ~~  n
)
5 ensym 6552 . . . . 5  |-  ( A 
~~  n  ->  n  ~~  A )
6 bren 6518 . . . . . 6  |-  ( n 
~~  A  <->  E. f 
f : n -1-1-onto-> A )
7 f1ofo 5273 . . . . . . 7  |-  ( f : n -1-1-onto-> A  ->  f :
n -onto-> A )
87eximi 1537 . . . . . 6  |-  ( E. f  f : n -1-1-onto-> A  ->  E. f  f : n -onto-> A )
96, 8sylbi 120 . . . . 5  |-  ( n 
~~  A  ->  E. f 
f : n -onto-> A )
105, 9syl 14 . . . 4  |-  ( A 
~~  n  ->  E. f 
f : n -onto-> A )
1110reximi 2471 . . 3  |-  ( E. n  e.  om  A  ~~  n  ->  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )
124, 11sylbi 120 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A )
133, 12jca 301 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. n  e.  om  E. f  f : n -onto-> A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 781   E.wex 1427    e. wcel 1439   A.wral 2360   E.wrex 2361   class class class wbr 3851   omcom 4418   -onto->wfo 5026   -1-1-onto->wf1o 5027    ~~ cen 6509   Fincfn 6511
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-er 6306  df-en 6512  df-fin 6514
This theorem is referenced by:  fidcenum  6719
  Copyright terms: Public domain W3C validator