Theorem fidcenumlemim 7107

Description: Lemma for fidcenum 7111. Forward direction. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fidcenumlemim	|- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Distinct variable groups:   A, f, n   x, A, y

Proof of Theorem fidcenumlemim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 7019	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1228	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2612	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		isfi 6902	. . 3 |- ( A e. Fin <-> E. n e. om A ~~ n )
5		ensym 6923	. . . . 5 |- ( A ~~ n -> n ~~ A )
6		bren 6885	. . . . . 6 |- ( n ~~ A <-> E. f f : n -1-1-onto-> A )
7		f1ofo 5575	. . . . . . 7 |- ( f : n -1-1-onto-> A -> f : n -onto-> A )
8	7	eximi 1646	. . . . . 6 |- ( E. f f : n -1-1-onto-> A -> E. f f : n -onto-> A )
9	6, 8	sylbi 121	. . . . 5 |- ( n ~~ A -> E. f f : n -onto-> A )
10	5, 9	syl 14	. . . 4 |- ( A ~~ n -> E. f f : n -onto-> A )
11	10	reximi 2627	. . 3 |- ( E. n e. om A ~~ n -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
12	4, 11	sylbi 121	. 2 |- ( A e. Fin -> E. n e. om E. f f : n -onto-> A )
13	3, 12	jca 306	1 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. n e. om E. f f : n -onto-> A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   class class class wbr 4082   omcom 4679   -onto->wfo 5312   -1-1-onto->wf1o 5313   ~~ cen 6875   Fincfn 6877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880

This theorem is referenced by:  fidcenum  7111