Theorem preimaf1ofi 6916

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
preimaf1ofi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
preimaf1ofi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		f1ocnv 5445	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 5431	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
7		f1ores 5447	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
9		f1ofi 6908	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶)) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)
10	1, 8, 9	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116  ^◡ccnv 4603   ↾ cres 4606   “ cima 4607  –1-1→wf1 5185  –1-1-onto→wf1o 5187  Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-fin 6709

This theorem is referenced by:  fisumss  11333  fprodssdc  11531