Theorem preimaf1ofi 7134

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
preimaf1ofi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
preimaf1ofi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		f1ocnv 5590	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 5576	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
7		f1ores 5592	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
9		f1ofi 7126	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶)) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  ^◡ccnv 4719   ↾ cres 4722   “ cima 4723  –1-1→wf1 5318  –1-1-onto→wf1o 5320  Fincfn 6900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-er 6693  df-en 6901  df-fin 6903

This theorem is referenced by:  fisumss  11924  fprodssdc  12122