Theorem preimaf1ofi 6963

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
preimaf1ofi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
preimaf1ofi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		f1ocnv 5486	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 5472	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
7		f1ores 5488	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
9		f1ofi 6955	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶)) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2158   ⊆ wss 3141  ^◡ccnv 4637   ↾ cres 4640   “ cima 4641  –1-1→wf1 5225  –1-1-onto→wf1o 5227  Fincfn 6753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-er 6548  df-en 6754  df-fin 6756

This theorem is referenced by:  fisumss  11413  fprodssdc  11611