Theorem preimaf1ofi 7017

Description: The preimage of a finite set under a one-to-one, onto function is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaf1ofi.ss	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
preimaf1ofi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
preimaf1ofi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
preimaf1ofi	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Proof of Theorem preimaf1ofi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaf1ofi.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
2		preimaf1ofi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		f1ocnv 5517	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 5503	. . . 4 ⊢ (◡𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
6		preimaf1ofi.ss	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐵)
7		f1ores 5519	. . 3 ⊢ ((◡𝐹:𝐵–1-1→𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶))
9		f1ofi 7009	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ Fin ∧ (◡𝐹 ↾ 𝐶):𝐶–1-1-onto→(◡𝐹 “ 𝐶)) → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)
10	1, 8, 9	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ 𝐶) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ^◡ccnv 4662   ↾ cres 4665   “ cima 4666  –1-1→wf1 5255  –1-1-onto→wf1o 5257  Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  fisumss  11557  fprodssdc  11755