Theorem raluz2 9374

Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
raluz2	⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem raluz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9332	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛))
2		3anass 966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)))
3	1, 2	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)))
4	3	imbi1i 237	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)) → 𝜑))
5		impexp 261	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)) → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑)))
6		impexp 261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))
7	6	imbi2i 225	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ → ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛) → 𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
8	5, 7	bitri 183	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)) → 𝜑) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
9		bi2.04 247	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
10	8, 9	bitri 183	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑛)) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
11	4, 10	bitri 183	. . 3 ⊢ ((𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝜑) ↔ (𝑛 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑))))
12	11	ralbii2 2445	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))
13		r19.21v 2509	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))
14	12, 13	bitri 183	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑀)𝜑 ↔ (𝑀 ∈ ℤ → ∀𝑛 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑛 → 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416   class class class wbr 3929  ‘cfv 5123   ≤ cle 7801  ℤcz 9054  ℤ_≥cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by: (None)