Theorem resfnfinfinss 7205

Description: The restriction of a function to a finite subset of its domain is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
resfnfinfinss	|- ( ( F Fn A /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) e. Fin )

Proof of Theorem resfnfinfinss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnssres 5470	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) Fn B )
2	1	3adant2 1043	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) Fn B )
3		simp2 1025	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> B e. Fin )
4		fnfi 7202	. 2 |- ( ( ( F |` B ) Fn B /\ B e. Fin ) -> ( F |` B ) e. Fin )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	1 |- ( ( F Fn A /\ B e. Fin /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   C_ wss 3210   |` cres 4750   Fn wfn 5346   Fincfn 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-1o 6646  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977

This theorem is referenced by:  residfi  7206