Theorem relcnvfi 7259

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 5241	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 ↔ ◡◡𝐴 = 𝐴)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → ◡◡𝐴 = 𝐴)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 = 𝐴)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 ∈ Fin)
6		relcnv 5168	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
7		cnvexg 5328	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ V)
8		cnven 7100	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
9	6, 7, 8	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
11		enfii 7180	. 2 ⊢ ((◡◡𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴) → ◡𝐴 ∈ Fin)
12	5, 10, 11	syl2anc 415	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4131  ^◡ccnv 4775  Rel wrel 4781   ≈ cen 7024  Fincfn 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029

This theorem is used by:  funrnfi  7260  fsumcnv  12229  fprodcnv  12417