ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relcnvfi GIF version

Theorem relcnvfi 6974
Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
relcnvfi ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem relcnvfi
StepHypRef Expression
1 dfrel2 5100 . . . . 5 (Rel 𝐴𝐴 = 𝐴)
21biimpi 120 . . . 4 (Rel 𝐴𝐴 = 𝐴)
32adantr 276 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐴)
4 simpr 110 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
53, 4eqeltrd 2266 . 2 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 relcnv 5027 . . . 4 Rel 𝐴
7 cnvexg 5187 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
8 cnven 6838 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
96, 7, 8sylancr 414 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
109adantl 277 . 2 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐴)
11 enfii 6906 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
125, 10, 11syl2anc 411 1 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4021  ccnv 4646  Rel wrel 4652  cen 6768  Fincfn 6770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-er 6563  df-en 6771  df-fin 6773
This theorem is referenced by:  funrnfi  6975  fsumcnv  11486  fprodcnv  11674
  Copyright terms: Public domain W3C validator