ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relcnvfi GIF version

Theorem relcnvfi 6829
Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
relcnvfi ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem relcnvfi
StepHypRef Expression
1 dfrel2 4989 . . . . 5 (Rel 𝐴𝐴 = 𝐴)
21biimpi 119 . . . 4 (Rel 𝐴𝐴 = 𝐴)
32adantr 274 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐴)
4 simpr 109 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
53, 4eqeltrd 2216 . 2 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 relcnv 4917 . . . 4 Rel 𝐴
7 cnvexg 5076 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
8 cnven 6702 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
96, 7, 8sylancr 410 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
109adantl 275 . 2 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐴)
11 enfii 6768 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
125, 10, 11syl2anc 408 1 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686   class class class wbr 3929  ccnv 4538  Rel wrel 4544  cen 6632  Fincfn 6634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637
This theorem is referenced by:  funrnfi  6830  fsumcnv  11213
  Copyright terms: Public domain W3C validator