Theorem relcnvfi 6974

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 5100	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 ↔ ◡◡𝐴 = 𝐴)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → ◡◡𝐴 = 𝐴)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 = 𝐴)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	eqeltrd 2266	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 ∈ Fin)
6		relcnv 5027	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
7		cnvexg 5187	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ V)
8		cnven 6838	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
11		enfii 6906	. 2 ⊢ ((◡◡𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴) → ◡𝐴 ∈ Fin)
12	5, 10, 11	syl2anc 411	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   class class class wbr 4021  ^◡ccnv 4646  Rel wrel 4652   ≈ cen 6768  Fincfn 6770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-er 6563  df-en 6771  df-fin 6773

This theorem is referenced by:  funrnfi  6975  fsumcnv  11486  fprodcnv  11674