Theorem relcnvfi 7108

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 5179	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 ↔ ◡◡𝐴 = 𝐴)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → ◡◡𝐴 = 𝐴)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 = 𝐴)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 ∈ Fin)
6		relcnv 5106	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
7		cnvexg 5266	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ V)
8		cnven 6961	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
9	6, 7, 8	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
11		enfii 7036	. 2 ⊢ ((◡◡𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴) → ◡𝐴 ∈ Fin)
12	5, 10, 11	syl2anc 411	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   class class class wbr 4083  ^◡ccnv 4718  Rel wrel 4724   ≈ cen 6885  Fincfn 6887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-er 6680  df-en 6888  df-fin 6890

This theorem is referenced by:  funrnfi  7109  fsumcnv  11948  fprodcnv  12136