ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relcnvfi GIF version

Theorem relcnvfi 6797
Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
relcnvfi ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem relcnvfi
StepHypRef Expression
1 dfrel2 4959 . . . . 5 (Rel 𝐴𝐴 = 𝐴)
21biimpi 119 . . . 4 (Rel 𝐴𝐴 = 𝐴)
32adantr 274 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐴)
4 simpr 109 . . 3 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
53, 4eqeltrd 2194 . 2 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
6 relcnv 4887 . . . 4 Rel 𝐴
7 cnvexg 5046 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ V)
8 cnven 6670 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
96, 7, 8sylancr 410 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴𝐴)
109adantl 275 . 2 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐴)
11 enfii 6736 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
125, 10, 11syl2anc 408 1 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1316  wcel 1465  Vcvv 2660   class class class wbr 3899  ccnv 4508  Rel wrel 4514  cen 6600  Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  funrnfi  6798  fsumcnv  11174
  Copyright terms: Public domain W3C validator