Theorem relcnvfi 7245

Description: If a relation is finite, its converse is as well. (Contributed by Jim Kingdon, 5-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
relcnvfi	⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem relcnvfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrel2 5233	. . . . 5 ⊢ (Rel 𝐴 ↔ ◡◡𝐴 = 𝐴)
2	1	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (Rel 𝐴 → ◡◡𝐴 = 𝐴)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 = 𝐴)
4		simpr 110	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡◡𝐴 ∈ Fin)
6		relcnv 5160	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
7		cnvexg 5320	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ V)
8		cnven 7086	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
9	6, 7, 8	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
10	9	adantl 277	. 2 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
11		enfii 7166	. 2 ⊢ ((◡◡𝐴 ∈ Fin ∧ ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴) → ◡𝐴 ∈ Fin)
12	5, 10, 11	syl2anc 415	1 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ◡𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   class class class wbr 4125  ^◡ccnv 4768  Rel wrel 4774   ≈ cen 7010  Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  funrnfi  7246  fsumcnv  12182  fprodcnv  12370