Theorem residfi 7095

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	|- ( ( _I |` A ) e. Fin <-> A e. Fin )

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5056	. . 3 |- dom ( _I |` A ) = A
2		funi 5346	. . . . 5 |- Fun _I
3		funres 5355	. . . . 5 |- ( Fun _I -> Fun ( _I |` A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun ( _I |` A )
5		fundmfi 7092	. . . 4 |- ( ( ( _I |` A ) e. Fin /\ Fun ( _I |` A ) ) -> dom ( _I |` A ) e. Fin )
6	4, 5	mpan2 425	. . 3 |- ( ( _I |` A ) e. Fin -> dom ( _I |` A ) e. Fin )
7	1, 6	eqeltrrid 2317	. 2 |- ( ( _I |` A ) e. Fin -> A e. Fin )
8		f1ovi 5608	. . . 4 |- _I : _V -1-1-onto-> _V
9		f1ofn 5569	. . . 4 |- ( _I : _V -1-1-onto-> _V -> _I Fn _V )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- _I Fn _V
11		ssv 3246	. . 3 |- A C_ _V
12		resfnfinfinss 7094	. . 3 |- ( ( _I Fn _V /\ A e. Fin /\ A C_ _V ) -> ( _I |` A ) e. Fin )
13	10, 11, 12	mp3an13 1362	. 2 |- ( A e. Fin -> ( _I |` A ) e. Fin )
14	7, 13	impbii 126	1 |- ( ( _I |` A ) e. Fin <-> A e. Fin )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   _I cid 4376   dom cdm 4716   |` cres 4718   Fun wfun 5308   Fn wfn 5309   -1-1-onto->wf1o 5313   Fincfn 6877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-1o 6552  df-er 6670  df-en 6878  df-fin 6880

This theorem is referenced by: (None)