Theorem residfi 7006

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	|- ( ( _I |` A ) e. Fin <-> A e. Fin )

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5001	. . 3 |- dom ( _I |` A ) = A
2		funi 5290	. . . . 5 |- Fun _I
3		funres 5299	. . . . 5 |- ( Fun _I -> Fun ( _I |` A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun ( _I |` A )
5		fundmfi 7003	. . . 4 |- ( ( ( _I |` A ) e. Fin /\ Fun ( _I |` A ) ) -> dom ( _I |` A ) e. Fin )
6	4, 5	mpan2 425	. . 3 |- ( ( _I |` A ) e. Fin -> dom ( _I |` A ) e. Fin )
7	1, 6	eqeltrrid 2284	. 2 |- ( ( _I |` A ) e. Fin -> A e. Fin )
8		f1ovi 5543	. . . 4 |- _I : _V -1-1-onto-> _V
9		f1ofn 5505	. . . 4 |- ( _I : _V -1-1-onto-> _V -> _I Fn _V )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- _I Fn _V
11		ssv 3205	. . 3 |- A C_ _V
12		resfnfinfinss 7005	. . 3 |- ( ( _I Fn _V /\ A e. Fin /\ A C_ _V ) -> ( _I |` A ) e. Fin )
13	10, 11, 12	mp3an13 1339	. 2 |- ( A e. Fin -> ( _I |` A ) e. Fin )
14	7, 13	impbii 126	1 |- ( ( _I |` A ) e. Fin <-> A e. Fin )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   _I cid 4323   dom cdm 4663   |` cres 4665   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   -1-1-onto->wf1o 5257   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by: (None)