Theorem residfi 7254

Description: A restricted identity function is finite iff the restricting class is finite. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
residfi	|- ( ( _I |` A ) e. Fin <-> A e. Fin )

Proof of Theorem residfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmresi 5118	. . 3 |- dom ( _I |` A ) = A
2		funi 5409	. . . . 5 |- Fun _I
3		funres 5418	. . . . 5 |- ( Fun _I -> Fun ( _I |` A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 |- Fun ( _I |` A )
5		fundmfi 7251	. . . 4 |- ( ( ( _I |` A ) e. Fin /\ Fun ( _I |` A ) ) -> dom ( _I |` A ) e. Fin )
6	4, 5	mpan2 429	. . 3 |- ( ( _I |` A ) e. Fin -> dom ( _I |` A ) e. Fin )
7	1, 6	eqeltrrid 2326	. 2 |- ( ( _I |` A ) e. Fin -> A e. Fin )
8		f1ovi 5680	. . . 4 |- _I : _V -1-1-onto-> _V
9		f1ofn 5640	. . . 4 |- ( _I : _V -1-1-onto-> _V -> _I Fn _V )
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 |- _I Fn _V
11		ssv 3270	. . 3 |- A C_ _V
12		resfnfinfinss 7253	. . 3 |- ( ( _I Fn _V /\ A e. Fin /\ A C_ _V ) -> ( _I |` A ) e. Fin )
13	10, 11, 12	mp3an13 1369	. 2 |- ( A e. Fin -> ( _I |` A ) e. Fin )
14	7, 13	impbii 126	1 |- ( ( _I |` A ) e. Fin <-> A e. Fin )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   _I cid 4433   dom cdm 4774   |` cres 4776   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   -1-1-onto->wf1o 5376   Fincfn 7022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025

This theorem is used by: (None)