ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resfnfinfinss GIF version

Theorem resfnfinfinss 6577
Description: The restriction of a function to a finite subset of its domain is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
resfnfinfinss ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem resfnfinfinss
StepHypRef Expression
1 fnssres 5083 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
213adant2 960 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
3 simp2 942 . 2 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4 fnfi 6574 . 2 (((𝐹𝐵) Fn 𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹𝐵) ∈ Fin)
52, 3, 4syl2anc 403 1 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 922  wcel 1436  wss 2986  cres 4406   Fn wfn 4967  Fincfn 6390
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3922  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-if 3377  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-1o 6116  df-er 6225  df-en 6391  df-fin 6393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator