Theorem fnssres 5389

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fnssres	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) Fn B )

Proof of Theorem fnssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnssresb 5388	. 2 |- ( F Fn A -> ( ( F |` B ) Fn B <-> B C_ A ) )
2	1	biimpar 297	1 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) Fn B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   C_ wss 3166   |` cres 4677   Fn wfn 5266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-res 4687  df-fun 5273  df-fn 5274

This theorem is referenced by:  fnresin1  5390  fnresin2  5391  fssres  5451  fvreseq  5683  fnreseql  5690  ffvresb  5743  fnressn  5770  ofres  6173  tfrlem1  6394  frecrdg  6494  resixp  6820  resfnfinfinss  7041  suplocexprlemell  7826  seq3feq2  10621  seqf1oglem2  10665  reeff1  12011  rngmgpf  13699  mgpf  13773  upxp  14744  uptx  14746  cnmpt1st  14760  cnmpt2nd  14761  ioocosf1o  15326  mpodvdsmulf1o  15462