Theorem restuni2 14734

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restin.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restuni2	|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )

Proof of Theorem restuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> J e. Top )
2		inss2 3398	. . 3 |- ( A i^i X ) C_ X
3		restin.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	restuni 14729	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A i^i X ) C_ X ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
5	1, 2, 4	sylancl 413	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
6	3	restin 14733	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) = ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
7	6	unieqd 3870	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
8	5, 7	eqtr4d 2242	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   i^i cin 3169   C_ wss 3170   U.cuni 3859  (class class class)co 5962   ↾_t crest 13156   Topctop 14554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-rest 13158  df-topgen 13177  df-top 14555  df-topon 14568  df-bases 14600

This theorem is referenced by:  resttopon2  14735