Theorem restuni2 13613

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restin.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restuni2	|- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )

Proof of Theorem restuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> J e. Top )
2		inss2 3356	. . 3 |- ( A i^i X ) C_ X
3		restin.1	. . . 4 |- X = U. J
4	3	restuni 13608	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ ( A i^i X ) C_ X ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
5	1, 2, 4	sylancl 413	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
6	3	restin 13612	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) = ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
7	6	unieqd 3820	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> U. ( J ↾t A ) = U. ( J ↾t ( A i^i X ) ) )
8	5, 7	eqtr4d 2213	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   i^i cin 3128   C_ wss 3129   U.cuni 3809  (class class class)co 5874   ↾_t crest 12687   Topctop 13433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479

This theorem is referenced by:  resttopon2  13614