Theorem restuni 12583

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restuni	|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	toptopon 12427	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
3		resttopon 12582	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
4	2, 3	sylanb 282	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
5		toponuni 12424	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
6	4, 5	syl 14	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   U.cuni 3772   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   ↾_t crest 12362   Topctop 12406  TopOnctopon 12419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-rest 12364  df-topgen 12383  df-top 12407  df-topon 12420  df-bases 12452

This theorem is referenced by:  restuni2  12588  restopn2  12594  reldvg  13059