Theorem restuni 15037

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restuni	|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	toptopon 14883	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
3		resttopon 15036	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
4	2, 3	sylanb 284	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
5		toponuni 14880	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
6	4, 5	syl 14	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ↾_t crest 13452   Topctop 14862  TopOnctopon 14875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908

This theorem is referenced by:  restuni2  15042  restopn2  15048  reldvg  15544