Theorem restuni 14886

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
restuni	|- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )

Proof of Theorem restuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 |- X = U. J
2	1	toptopon 14732	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
3		resttopon 14885	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
4	2, 3	sylanb 284	. 2 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
5		toponuni 14729	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) -> A = U. ( J ↾t A ) )
6	4, 5	syl 14	1 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> A = U. ( J ↾t A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   U.cuni 3891   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   ↾_t crest 13312   Topctop 14711  TopOnctopon 14724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757

This theorem is referenced by:  restuni2  14891  restopn2  14897  reldvg  15393