ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  restuni Unicode version

Theorem restuni 12583
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
restuni  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21toptopon 12427 . . 3  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 resttopon 12582 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  C_  X )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
42, 3sylanb 282 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  -> 
( Jt  A )  e.  (TopOn `  A ) )
5 toponuni 12424 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  A )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
64, 5syl 14 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  X )  ->  A  =  U. ( Jt  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128    C_ wss 3102   U.cuni 3772   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   ↾t crest 12362   Topctop 12406  TopOnctopon 12419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-rest 12364  df-topgen 12383  df-top 12407  df-topon 12420  df-bases 12452
This theorem is referenced by:  restuni2  12588  restopn2  12594  reldvg  13059
  Copyright terms: Public domain W3C validator