ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttopon2 Unicode version

Theorem resttopon2 12258
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) ) )

Proof of Theorem resttopon2
StepHypRef Expression
1 topontop 12092 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 resttop 12250 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 281 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
4 toponuni 12093 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54ineq2d 3247 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A  i^i  X )  =  ( A  i^i  U. J
) )
65adantr 274 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X )  =  ( A  i^i  U. J ) )
7 eqid 2117 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
87restuni2 12257 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
91, 8sylan 281 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
106, 9eqtrd 2150 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X )  = 
U. ( Jt  A ) )
11 istopon 12091 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  A ) ) )
123, 10, 11sylanbrc 413 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465    i^i cin 3040   U.cuni 3706   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   ↾t crest 12031   Topctop 12075  TopOnctopon 12088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-rest 12033  df-topgen 12052  df-top 12076  df-topon 12089  df-bases 12121
This theorem is referenced by:  lmss  12326
  Copyright terms: Public domain W3C validator