ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resttopon2 Unicode version

Theorem resttopon2 13311
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
resttopon2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) ) )

Proof of Theorem resttopon2
StepHypRef Expression
1 topontop 13145 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
2 resttop 13303 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 283 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
4 toponuni 13146 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
54ineq2d 3336 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( A  i^i  X )  =  ( A  i^i  U. J
) )
65adantr 276 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X )  =  ( A  i^i  U. J ) )
7 eqid 2177 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
87restuni2 13310 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
91, 8sylan 283 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
106, 9eqtrd 2210 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  X )  = 
U. ( Jt  A ) )
11 istopon 13144 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) )  <->  ( ( Jt  A )  e.  Top  /\  ( A  i^i  X
)  =  U. ( Jt  A ) ) )
123, 10, 11sylanbrc 417 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  (TopOn `  ( A  i^i  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148    i^i cin 3128   U.cuni 3807   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   ↾t crest 12623   Topctop 13128  TopOnctopon 13141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174
This theorem is referenced by:  lmss  13379
  Copyright terms: Public domain W3C validator