Theorem resttopon2 14901

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttopon2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Proof of Theorem resttopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14737	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		resttop 14893	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4		toponuni 14738	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
5	4	ineq2d 3408	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
7		eqid 2231	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7	restuni2 14900	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
9	1, 8	sylan 283	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
10	6, 9	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )
11		istopon 14736	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   i^i cin 3199   U.cuni 3893   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ↾_t crest 13321   Topctop 14720  TopOnctopon 14733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766

This theorem is referenced by:  lmss  14969