Theorem resttopon2 14357

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttopon2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Proof of Theorem resttopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14193	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		resttop 14349	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4		toponuni 14194	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
5	4	ineq2d 3361	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
7		eqid 2193	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7	restuni2 14356	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
9	1, 8	sylan 283	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
10	6, 9	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )
11		istopon 14192	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   i^i cin 3153   U.cuni 3836   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ↾_t crest 12853   Topctop 14176  TopOnctopon 14189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222

This theorem is referenced by:  lmss  14425