Theorem resttopon2 12818

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttopon2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Proof of Theorem resttopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 12652	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		resttop 12810	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4		toponuni 12653	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
5	4	ineq2d 3323	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
6	5	adantr 274	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
7		eqid 2165	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7	restuni2 12817	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
9	1, 8	sylan 281	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
10	6, 9	eqtrd 2198	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )
11		istopon 12651	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 414	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   i^i cin 3115   U.cuni 3789   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ↾_t crest 12556   Topctop 12635  TopOnctopon 12648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681

This theorem is referenced by:  lmss  12886