Theorem resttopon2 14765

Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
resttopon2	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Proof of Theorem resttopon2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		topontop 14601	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> J e. Top )
2		resttop 14757	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
3	1, 2	sylan 283	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. Top )
4		toponuni 14602	. . . . 5 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> X = U. J )
5	4	ineq2d 3382	. . . 4 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = ( A i^i U. J ) )
7		eqid 2207	. . . . 5 |- U. J = U. J
8	7	restuni2 14764	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
9	1, 8	sylan 283	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i U. J ) = U. ( J ↾t A ) )
10	6, 9	eqtrd 2240	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) )
11		istopon 14600	. 2 |- ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) <-> ( ( J ↾t A ) e. Top /\ ( A i^i X ) = U. ( J ↾t A ) ) )
12	3, 10, 11	sylanbrc 417	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A e. V ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` ( A i^i X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   i^i cin 3173   U.cuni 3864   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   ↾_t crest 13186   Topctop 14584  TopOnctopon 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630

This theorem is referenced by:  lmss  14833