Theorem rrgss 13946

Description: Left-regular elements are a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgss.e	|- E = (RLReg ` R )
rrgss.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgss	|- E C_ B

Proof of Theorem rrgss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgss.e	. . 3 |- E = (RLReg ` R )
2		rrgss.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2204	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		eqid 2204	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5	1, 2, 3, 4	rrgval 13942	. 2 |- E = { x e. B | A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) -> y = ( 0g ` R ) ) }
6	5	ssrab3 3278	1 |- E C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   A.wral 2483   C_ wss 3165   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   Basecbs 12751   .rcmulr 12829   0gc0g 13006  RLRegcrlreg 13935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1re 8001  ax-addrcl 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-fv 5276  df-ov 5937  df-inn 9019  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-rlreg 13938

This theorem is referenced by:  znrrg  14340