Theorem rrgss 14345

Description: Left-regular elements are a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgss.e	|- E = (RLReg ` R )
rrgss.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgss	|- E C_ B

Proof of Theorem rrgss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgss.e	. . 3 |- E = (RLReg ` R )
2		rrgss.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5	1, 2, 3, 4	rrgval 14340	. 2 |- E = { x e. B | A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) -> y = ( 0g ` R ) ) }
6	5	ssrab3 3314	1 |- E C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   A.wral 2511   C_ wss 3201   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13145   .rcmulr 13224   0gc0g 13402  RLRegcrlreg 14333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9186  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-rlreg 14336

This theorem is referenced by:  znrrg  14739