Theorem rrgss 14224

Description: Left-regular elements are a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgss.e	|- E = (RLReg ` R )
rrgss.b	|- B = ( Base ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgss	|- E C_ B

Proof of Theorem rrgss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgss.e	. . 3 |- E = (RLReg ` R )
2		rrgss.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2229	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		eqid 2229	. . 3 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
5	1, 2, 3, 4	rrgval 14220	. 2 |- E = { x e. B | A. y e. B ( ( x ( .r ` R ) y ) = ( 0g ` R ) -> y = ( 0g ` R ) ) }
6	5	ssrab3 3310	1 |- E C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   A.wral 2508   C_ wss 3197   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Basecbs 13027   .rcmulr 13106   0gc0g 13284  RLRegcrlreg 14213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-fv 5325  df-ov 6003  df-inn 9107  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-rlreg 14216

This theorem is referenced by:  znrrg  14618