Theorem rrgss 14342

Description: Left-regular elements are a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgss.e	⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
rrgss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rrgss	⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rrgss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgss.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (RLReg‘𝑅)
2		rrgss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4		eqid 2231	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	rrgval 14338	. 2 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦) = (0g‘𝑅) → 𝑦 = (0g‘𝑅))}
6	5	ssrab3 3314	1 ⊢ 𝐸 ⊆ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  ._rcmulr 13222  0_gc0g 13400  RLRegcrlreg 14331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9187  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-rlreg 14334

This theorem is referenced by:  znrrg  14736