Theorem rrgeq0 13745

Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	|- E = (RLReg ` R )
rrgval.b	|- B = ( Base ` R )
rrgval.t	|- .x. = ( .r ` R )
rrgval.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgeq0	|- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> Y = .0. ) )

Proof of Theorem rrgeq0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgval.e	. . . 4 |- E = (RLReg ` R )
2		rrgval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		rrgval.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
4		rrgval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5	1, 2, 3, 4	rrgeq0i 13744	. . 3 |- ( ( X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. -> Y = .0. ) )
6	5	3adant1 1017	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. -> Y = .0. ) )
7		simp1 999	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
8	1, 2, 3, 4	rrgval 13742	. . . . . 6 |- E = { x e. B | A. y e. B ( ( x .x. y ) = .0. -> y = .0. ) }
9	8	ssrab3 3265	. . . . 5 |- E C_ B
10		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> X e. E )
11	9, 10	sselid 3177	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> X e. B )
12	2, 3, 4	ringrz 13524	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )
13	7, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )
14		oveq2 5918	. . . 4 |- ( Y = .0. -> ( X .x. Y ) = ( X .x. .0. ) )
15	14	eqeq1d 2202	. . 3 |- ( Y = .0. -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> ( X .x. .0. ) = .0. ) )
16	13, 15	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( Y = .0. -> ( X .x. Y ) = .0. ) )
17	6, 16	impbid 129	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> Y = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Basecbs 12608   .rcmulr 12686   0gc0g 12857   Ringcrg 13476  RLRegcrlreg 13735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-ltxr 8049  df-inn 8973  df-2 9031  df-3 9032  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-sets 12615  df-plusg 12698  df-mulr 12699  df-0g 12859  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988  df-grp 13065  df-mgp 13401  df-ring 13478  df-rlreg 13738

This theorem is referenced by:  rrgnz  13748