Theorem rrgeq0 14237

Description: Left-multiplication by a left regular element does not change zeroness. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrgval.e	|- E = (RLReg ` R )
rrgval.b	|- B = ( Base ` R )
rrgval.t	|- .x. = ( .r ` R )
rrgval.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rrgeq0	|- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> Y = .0. ) )

Proof of Theorem rrgeq0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrgval.e	. . . 4 |- E = (RLReg ` R )
2		rrgval.b	. . . 4 |- B = ( Base ` R )
3		rrgval.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
4		rrgval.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
5	1, 2, 3, 4	rrgeq0i 14236	. . 3 |- ( ( X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. -> Y = .0. ) )
6	5	3adant1 1039	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. -> Y = .0. ) )
7		simp1 1021	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
8	1, 2, 3, 4	rrgval 14234	. . . . . 6 |- E = { x e. B | A. y e. B ( ( x .x. y ) = .0. -> y = .0. ) }
9	8	ssrab3 3310	. . . . 5 |- E C_ B
10		simp2 1022	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> X e. E )
11	9, 10	sselid 3222	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> X e. B )
12	2, 3, 4	ringrz 14015	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )
13	7, 11, 12	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( X .x. .0. ) = .0. )
14		oveq2 6015	. . . 4 |- ( Y = .0. -> ( X .x. Y ) = ( X .x. .0. ) )
15	14	eqeq1d 2238	. . 3 |- ( Y = .0. -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> ( X .x. .0. ) = .0. ) )
16	13, 15	syl5ibrcom 157	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( Y = .0. -> ( X .x. Y ) = .0. ) )
17	6, 16	impbid 129	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. E /\ Y e. B ) -> ( ( X .x. Y ) = .0. <-> Y = .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13040   .rcmulr 13119   0gc0g 13297   Ringcrg 13967  RLRegcrlreg 14227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-grp 13544  df-mgp 13892  df-ring 13969  df-rlreg 14230

This theorem is referenced by:  rrgnz  14240