Theorem znrrg 14192

Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for N = 0, where all nonzero integers are regular, but only pm 1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znrrg.e	|- E = (RLReg ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znrrg	|- ( N e. NN -> E = U )

Proof of Theorem znrrg

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9253	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		znchr.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
4		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	2, 3, 4	znzrhfo 14180	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
7		znrrg.e	. . . . . . . 8 |- E = (RLReg ` Y )
8	7, 3	rrgss 13798	. . . . . . 7 |- E C_ ( Base ` Y )
9	8	sseli 3179	. . . . . 6 |- ( x e. E -> x e. ( Base ` Y ) )
10		foelrn 5799	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. E ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
12	11	ex 115	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ) )
13		nncn 8995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. CC )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. CC )
15		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> n e. ZZ )
16		nnz 9342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. ZZ )
18		nnne0 9015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N =/= 0 )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
21	20	necon3ai 2416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N =/= 0 -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
23		gcdn0cl 12105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( n = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( n gcd N ) e. NN )
24	15, 17, 22, 23	syl21anc 1248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN )
25	24	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. CC )
26	24	nnap0d 9033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) # 0 )
27	14, 25, 26	divcanap2d 8816	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) = N )
28		gcddvds 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
29	15, 17, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || n )
31	24	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. ZZ )
32	29	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || N )
33		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN )
34		nndivdvds 11945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( n gcd N ) e. NN ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
35	33, 24, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN )
37	36	nnzd 9444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ )
38		dvdsmulc 11968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
39	31, 15, 37, 38	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
41	27, 40	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E )
43	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN0 )
44	43, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
45		fof 5480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
47	46, 37	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
48		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
49		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
50	7, 3, 48, 49	rrgeq0i 13796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
51	42, 47, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
52	2	zncrng 14177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> Y e. CRing )
54	53	crngringd 13541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> Y e. Ring )
55	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> Y e. Ring )
56	4	zrhrhm 14155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
58		zringbas 14128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
59		zringmulr 14131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x. = ( .r ` ℤring )
60	58, 59, 48	rhmmul 13696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
61	57, 15, 37, 60	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
62	61	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63	15, 37	zmulcld 9451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ )
64	2, 4, 49	zndvds0 14182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
65	43, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
66	62, 65	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
67	2, 4, 49	zndvds0 14182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
68	43, 37, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
69	51, 66, 68	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
70	41, 69	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) )
71	14, 25, 26	divcanap1d 8815	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) = N )
72	36	nncnd 9001	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. CC )
73	72	mulridd 8041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) = ( N / ( n gcd N ) ) )
74	70, 71, 73	3brtr4d 4065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) )
75		1zzd 9350	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> 1 e. ZZ )
76	36	nnne0d 9032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 )
77		dvdscmulr 11969	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ ( ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
78	31, 75, 37, 76, 77	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || 1 )
80	15, 17	gcdcld 12111	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN0 )
81		dvds1 12001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n gcd N ) e. NN0 -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
83	79, 82	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) = 1 )
84		znunit.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = (Unit ` Y )
85	2, 84, 4	znunit 14191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
86	43, 15, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
87	83, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U )
88	87	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
89		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) )
90		eleq1 2259	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
91	89, 90	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( ( x e. E -> x e. U ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) ) )
92	88, 91	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
93	92	rexlimdva 2614	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
94	93	com23 78	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> x e. U ) ) )
95	12, 94	mpdd 41	. . 3 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> x e. U ) )
96	95	ssrdv 3189	. 2 |- ( N e. NN -> E C_ U )
97	7, 84	unitrrg 13799	. . 3 |- ( Y e. Ring -> U C_ E )
98	54, 97	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> U C_ E )
99	96, 98	eqssd 3200	1 |- ( N e. NN -> E = U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   -->wf 5254   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7875   0cc0 7877   1c1 7878   x. cmul 7882   / cdiv 8696   NNcn 8987   NN0cn0 9246   ZZcz 9323   || cdvds 11936   gcd cgcd 12085   Basecbs 12654   .rcmulr 12732   0gc0g 12903   Ringcrg 13528   CRingccrg 13529  Unitcui 13619   RingHom crh 13682  RLRegcrlreg 13787  ℤ_ringczring 14122   ZRHomczrh 14143  ℤ/nℤczn 14145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996  ax-caucvg 7997  ax-addf 7999  ax-mulf 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-frec 6449  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-sup 7048  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-9 9053  df-n0 9247  df-z 9324  df-dec 9455  df-uz 9599  df-q 9691  df-rp 9726  df-fz 10081  df-fzo 10215  df-fl 10345  df-mod 10400  df-seqfrec 10525  df-exp 10616  df-cj 10992  df-re 10993  df-im 10994  df-rsqrt 11148  df-abs 11149  df-dvds 11937  df-gcd 12086  df-struct 12656  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-iress 12662  df-plusg 12744  df-mulr 12745  df-starv 12746  df-sca 12747  df-vsca 12748  df-ip 12749  df-tset 12750  df-ple 12751  df-ds 12753  df-unif 12754  df-0g 12905  df-topgen 12907  df-iimas 12921  df-qus 12922  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-mhm 13067  df-grp 13111  df-minusg 13112  df-sbg 13113  df-mulg 13226  df-subg 13276  df-nsg 13277  df-eqg 13278  df-ghm 13347  df-cmn 13392  df-abl 13393  df-mgp 13453  df-rng 13465  df-ur 13492  df-srg 13496  df-ring 13530  df-cring 13531  df-oppr 13600  df-dvdsr 13621  df-unit 13622  df-invr 13653  df-rhm 13684  df-subrg 13751  df-rlreg 13790  df-lmod 13821  df-lssm 13885  df-lsp 13919  df-sra 13967  df-rgmod 13968  df-lidl 14001  df-rsp 14002  df-2idl 14032  df-bl 14078  df-mopn 14079  df-fg 14081  df-metu 14082  df-cnfld 14089  df-zring 14123  df-zrh 14146  df-zn 14148

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