Theorem znrrg 14920

Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for N = 0, where all nonzero integers are regular, but only pm 1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znrrg.e	|- E = (RLReg ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znrrg	|- ( N e. NN -> E = U )

Proof of Theorem znrrg

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9520	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		znchr.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
4		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	2, 3, 4	znzrhfo 14908	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
7		znrrg.e	. . . . . . . 8 |- E = (RLReg ` Y )
8	7, 3	rrgss 14498	. . . . . . 7 |- E C_ ( Base ` Y )
9	8	sseli 3238	. . . . . 6 |- ( x e. E -> x e. ( Base ` Y ) )
10		foelrn 5931	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. E ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
12	11	ex 115	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ) )
13		nncn 9262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. CC )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. CC )
15		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> n e. ZZ )
16		nnz 9613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. ZZ )
18		nnne0 9282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N =/= 0 )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
21	20	necon3ai 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N =/= 0 -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
23		gcdn0cl 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( n = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( n gcd N ) e. NN )
24	15, 17, 22, 23	syl21anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN )
25	24	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. CC )
26	24	nnap0d 9300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) # 0 )
27	14, 25, 26	divcanap2d 9083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) = N )
28		gcddvds 12684	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
29	15, 17, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || n )
31	24	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. ZZ )
32	29	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || N )
33		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN )
34		nndivdvds 12507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( n gcd N ) e. NN ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
35	33, 24, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN )
37	36	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ )
38		dvdsmulc 12530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
39	31, 15, 37, 38	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
41	27, 40	eqbrtrrd 4138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E )
43	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN0 )
44	43, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
45		fof 5595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
47	46, 37	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
48		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
49		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
50	7, 3, 48, 49	rrgeq0i 14495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
51	42, 47, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
52	2	zncrng 14905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> Y e. CRing )
54	53	crngringd 14237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> Y e. Ring )
55	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> Y e. Ring )
56	4	zrhrhm 14883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
58		zringbas 14856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
59		zringmulr 14859	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x. = ( .r ` ℤring )
60	58, 59, 48	rhmmul 14394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
61	57, 15, 37, 60	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
62	61	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63	15, 37	zmulcld 9724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ )
64	2, 4, 49	zndvds0 14910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
65	43, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
66	62, 65	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
67	2, 4, 49	zndvds0 14910	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
68	43, 37, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
69	51, 66, 68	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
70	41, 69	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) )
71	14, 25, 26	divcanap1d 9082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) = N )
72	36	nncnd 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. CC )
73	72	mulridd 8307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) = ( N / ( n gcd N ) ) )
74	70, 71, 73	3brtr4d 4146	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) )
75		1zzd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> 1 e. ZZ )
76	36	nnne0d 9299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 )
77		dvdscmulr 12531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ ( ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
78	31, 75, 37, 76, 77	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || 1 )
80	15, 17	gcdcld 12689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN0 )
81		dvds1 12564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n gcd N ) e. NN0 -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
83	79, 82	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) = 1 )
84		znunit.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = (Unit ` Y )
85	2, 84, 4	znunit 14919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
86	43, 15, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
87	83, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U )
88	87	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
89		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) )
90		eleq1 2297	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
91	89, 90	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( ( x e. E -> x e. U ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) ) )
92	88, 91	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
93	92	rexlimdva 2662	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
94	93	com23 78	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> x e. U ) ) )
95	12, 94	mpdd 41	. . 3 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> x e. U ) )
96	95	ssrdv 3248	. 2 |- ( N e. NN -> E C_ U )
97	7, 84	unitrrg 14499	. . 3 |- ( Y e. Ring -> U C_ E )
98	54, 97	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> U C_ E )
99	96, 98	eqssd 3259	1 |- ( N e. NN -> E = U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   -->wf 5353   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   x. cmul 8148   / cdiv 8963   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   || cdvds 12498   gcd cgcd 12674   Basecbs 13296   .rcmulr 13375   0gc0g 13553   Ringcrg 14224   CRingccrg 14225  Unitcui 14316   RingHom crh 14380  RLRegcrlreg 14486  ℤ_ringczring 14850   ZRHomczrh 14871  ℤ/nℤczn 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-recs 6549  df-frec 6635  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-map 6897  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-iress 13304  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-starv 13389  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-unif 13397  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-iimas 13599  df-qus 13600  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-mhm 13756  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-sbg 13802  df-mulg 13921  df-subg 13971  df-nsg 13972  df-eqg 13973  df-ghm 14042  df-cmn 14087  df-abl 14088  df-mgp 14149  df-rng 14161  df-ur 14188  df-srg 14192  df-ring 14226  df-cring 14227  df-oppr 14296  df-dvdsr 14318  df-unit 14319  df-invr 14351  df-rhm 14382  df-subrg 14450  df-rlreg 14489  df-lmod 14549  df-lssm 14613  df-lsp 14647  df-sra 14695  df-rgmod 14696  df-lidl 14729  df-rsp 14730  df-2idl 14760  df-bl 14806  df-mopn 14807  df-fg 14809  df-metu 14810  df-cnfld 14817  df-zring 14851  df-zrh 14874  df-zn 14876

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