Theorem znrrg 14978

Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for N = 0, where all nonzero integers are regular, but only pm 1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znrrg.e	|- E = (RLReg ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znrrg	|- ( N e. NN -> E = U )

Proof of Theorem znrrg

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9553	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		znchr.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
4		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	2, 3, 4	znzrhfo 14966	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
7		znrrg.e	. . . . . . . 8 |- E = (RLReg ` Y )
8	7, 3	rrgss 14558	. . . . . . 7 |- E C_ ( Base ` Y )
9	8	sseli 3244	. . . . . 6 |- ( x e. E -> x e. ( Base ` Y ) )
10		foelrn 5952	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. E ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
12	11	ex 115	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ) )
13		nncn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. CC )
14	13	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. CC )
15		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> n e. ZZ )
16		nnz 9646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
17	16	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. ZZ )
18		nnne0 9315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
19	18	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N =/= 0 )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
21	20	necon3ai 2469	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N =/= 0 -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
23		gcdn0cl 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( n = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( n gcd N ) e. NN )
24	15, 17, 22, 23	syl21anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN )
25	24	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. CC )
26	24	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) # 0 )
27	14, 25, 26	divcanap2d 9116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) = N )
28		gcddvds 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
29	15, 17, 28	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || n )
31	24	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. ZZ )
32	29	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || N )
33		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN )
34		nndivdvds 12546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( n gcd N ) e. NN ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
35	33, 24, 34	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN )
37	36	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ )
38		dvdsmulc 12569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
39	31, 15, 37, 38	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
41	27, 40	eqbrtrrd 4152	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E )
43	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN0 )
44	43, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
45		fof 5613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
47	46, 37	ffvelcdmd 5838	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
48		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
49		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
50	7, 3, 48, 49	rrgeq0i 14555	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
51	42, 47, 50	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
52	2	zncrng 14963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> Y e. CRing )
54	53	crngringd 14296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> Y e. Ring )
55	54	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> Y e. Ring )
56	4	zrhrhm 14941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
58		zringbas 14914	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
59		zringmulr 14917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x. = ( .r ` ℤring )
60	58, 59, 48	rhmmul 14454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
61	57, 15, 37, 60	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
62	61	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63	15, 37	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ )
64	2, 4, 49	zndvds0 14968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
65	43, 63, 64	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
66	62, 65	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
67	2, 4, 49	zndvds0 14968	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
68	43, 37, 67	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
69	51, 66, 68	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
70	41, 69	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) )
71	14, 25, 26	divcanap1d 9115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) = N )
72	36	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. CC )
73	72	mulridd 8337	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) = ( N / ( n gcd N ) ) )
74	70, 71, 73	3brtr4d 4160	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) )
75		1zzd 9654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> 1 e. ZZ )
76	36	nnne0d 9332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 )
77		dvdscmulr 12570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ ( ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
78	31, 75, 37, 76, 77	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || 1 )
80	15, 17	gcdcld 12728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN0 )
81		dvds1 12603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n gcd N ) e. NN0 -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
83	79, 82	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) = 1 )
84		znunit.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = (Unit ` Y )
85	2, 84, 4	znunit 14977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
86	43, 15, 85	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
87	83, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U )
88	87	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
89		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) )
90		eleq1 2301	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
91	89, 90	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( ( x e. E -> x e. U ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) ) )
92	88, 91	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
93	92	rexlimdva 2668	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
94	93	com23 78	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> x e. U ) ) )
95	12, 94	mpdd 41	. . 3 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> x e. U ) )
96	95	ssrdv 3254	. 2 |- ( N e. NN -> E C_ U )
97	7, 84	unitrrg 14559	. . 3 |- ( Y e. Ring -> U C_ E )
98	54, 97	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> U C_ E )
99	96, 98	eqssd 3265	1 |- ( N e. NN -> E = U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   E.wrex 2529   C_ wss 3220   class class class wbr 4128   -->wf 5371   -onto->wfo 5373   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   CCcc 8171   0cc0 8173   1c1 8174   x. cmul 8178   / cdiv 8996   NNcn 9287   NN0cn0 9546   ZZcz 9627   || cdvds 12537   gcd cgcd 12713   Basecbs 13335   .rcmulr 13415   0gc0g 13593   Ringcrg 14283   CRingccrg 14284  Unitcui 14376   RingHom crh 14440  RLRegcrlreg 14546  ℤ_ringczring 14908   ZRHomczrh 14929  ℤ/nℤczn 14931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-recs 6570  df-frec 6656  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-map 6918  df-sup 7318  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-gcd 12714  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-mulg 13906  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958  df-ghm 14027  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-cring 14286  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-unit 14379  df-invr 14411  df-rhm 14442  df-subrg 14510  df-rlreg 14549  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-rsp 14790  df-2idl 14820  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909  df-zrh 14932  df-zn 14934

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