Theorem znrrg 14609

Description: The regular elements of ℤ/nℤ are exactly the units. (This theorem fails for N = 0, where all nonzero integers are regular, but only pm 1 are units.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
znchr.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znunit.u	|- U = (Unit ` Y )
znrrg.e	|- E = (RLReg ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znrrg	|- ( N e. NN -> E = U )

Proof of Theorem znrrg

Dummy variables n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 9364	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2		znchr.y	. . . . . . . 8 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
3		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
4		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` Y ) = ( ZRHom ` Y )
5	2, 3, 4	znzrhfo 14597	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
6	1, 5	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
7		znrrg.e	. . . . . . . 8 |- E = (RLReg ` Y )
8	7, 3	rrgss 14215	. . . . . . 7 |- E C_ ( Base ` Y )
9	8	sseli 3220	. . . . . 6 |- ( x e. E -> x e. ( Base ` Y ) )
10		foelrn 5869	. . . . . 6 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) /\ x e. ( Base ` Y ) ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
11	6, 9, 10	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. E ) -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) )
12	11	ex 115	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ) )
13		nncn 9106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> N e. CC )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. CC )
15		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> n e. ZZ )
16		nnz 9453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. ZZ )
18		nnne0 9126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
19	18	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N =/= 0 )
20		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
21	20	necon3ai 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N =/= 0 -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
22	19, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> -. ( n = 0 /\ N = 0 ) )
23		gcdn0cl 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( n = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( n gcd N ) e. NN )
24	15, 17, 22, 23	syl21anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN )
25	24	nncnd 9112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. CC )
26	24	nnap0d 9144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) # 0 )
27	14, 25, 26	divcanap2d 8927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) = N )
28		gcddvds 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
29	15, 17, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n /\ ( n gcd N ) || N ) )
30	29	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || n )
31	24	nnzd 9556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. ZZ )
32	29	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || N )
33		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN )
34		nndivdvds 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ ( n gcd N ) e. NN ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
35	33, 24, 34	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || N <-> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN ) )
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. NN )
37	36	nnzd 9556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ )
38		dvdsmulc 12316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
39	31, 15, 37, 38	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || n -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
40	30, 39	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) x. ( N / ( n gcd N ) ) ) || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
41	27, 40	eqbrtrrd 4106	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) )
42		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E )
43	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N e. NN0 )
44	43, 5	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) )
45		fof 5544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ZRHom ` Y ) : ZZ -onto-> ( Base ` Y ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) : ZZ --> ( Base ` Y ) )
47	46, 37	ffvelcdmd 5764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) )
48		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .r ` Y ) = ( .r ` Y )
49		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
50	7, 3, 48, 49	rrgeq0i 14213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
51	42, 47, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
52	2	zncrng 14594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( N e. NN0 -> Y e. CRing )
53	1, 52	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> Y e. CRing )
54	53	crngringd 13958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> Y e. Ring )
55	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> Y e. Ring )
56	4	zrhrhm 14572	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Y e. Ring -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) )
58		zringbas 14545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
59		zringmulr 14548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- x. = ( .r ` ℤring )
60	58, 59, 48	rhmmul 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ZRHom ` Y ) e. (ℤring RingHom Y ) /\ n e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
61	57, 15, 37, 60	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
62	61	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) ) )
63	15, 37	zmulcld 9563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ )
64	2, 4, 49	zndvds0 14599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN0 /\ ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
65	43, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
66	62, 65	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) ( .r ` Y ) ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) ) )
67	2, 4, 49	zndvds0 14599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN0 /\ ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
68	43, 37, 67	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` ( N / ( n gcd N ) ) ) = ( 0g ` Y ) <-> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
69	51, 66, 68	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N || ( n x. ( N / ( n gcd N ) ) ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) ) )
70	41, 69	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> N || ( N / ( n gcd N ) ) )
71	14, 25, 26	divcanap1d 8926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) = N )
72	36	nncnd 9112	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) e. CC )
73	72	mulridd 8151	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) = ( N / ( n gcd N ) ) )
74	70, 71, 73	3brtr4d 4114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) )
75		1zzd 9461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> 1 e. ZZ )
76	36	nnne0d 9143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 )
77		dvdscmulr 12317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( n gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ ( ( N / ( n gcd N ) ) e. ZZ /\ ( N / ( n gcd N ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
78	31, 75, 37, 76, 77	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( N / ( n gcd N ) ) x. ( n gcd N ) ) || ( ( N / ( n gcd N ) ) x. 1 ) <-> ( n gcd N ) || 1 ) )
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) || 1 )
80	15, 17	gcdcld 12475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) e. NN0 )
81		dvds1 12350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n gcd N ) e. NN0 -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( n gcd N ) || 1 <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
83	79, 82	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( n gcd N ) = 1 )
84		znunit.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = (Unit ` Y )
85	2, 84, 4	znunit 14608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
86	43, 15, 85	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U <-> ( n gcd N ) = 1 ) )
87	83, 86	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) /\ ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U )
88	87	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
89		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E ) )
90		eleq1 2292	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. U <-> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) )
91	89, 90	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( ( x e. E -> x e. U ) <-> ( ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. E -> ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) e. U ) ) )
92	88, 91	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
93	92	rexlimdva 2648	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> ( x e. E -> x e. U ) ) )
94	93	com23 78	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> ( E. n e. ZZ x = ( ( ZRHom ` Y ) ` n ) -> x e. U ) ) )
95	12, 94	mpdd 41	. . 3 |- ( N e. NN -> ( x e. E -> x e. U ) )
96	95	ssrdv 3230	. 2 |- ( N e. NN -> E C_ U )
97	7, 84	unitrrg 14216	. . 3 |- ( Y e. Ring -> U C_ E )
98	54, 97	syl 14	. 2 |- ( N e. NN -> U C_ E )
99	96, 98	eqssd 3241	1 |- ( N e. NN -> E = U )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   E.wrex 2509   C_ wss 3197   class class class wbr 4082   -->wf 5310   -onto->wfo 5312   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   CCcc 7985   0cc0 7987   1c1 7988   x. cmul 7992   / cdiv 8807   NNcn 9098   NN0cn0 9357   ZZcz 9434   || cdvds 12284   gcd cgcd 12460   Basecbs 13018   .rcmulr 13097   0gc0g 13275   Ringcrg 13945   CRingccrg 13946  Unitcui 14036   RingHom crh 14099  RLRegcrlreg 14204  ℤ_ringczring 14539   ZRHomczrh 14560  ℤ/nℤczn 14562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-tpos 6381  df-recs 6441  df-frec 6527  df-er 6670  df-ec 6672  df-qs 6676  df-map 6787  df-sup 7139  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-z 9435  df-dec 9567  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285  df-gcd 12461  df-struct 13020  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-sets 13025  df-iress 13026  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-starv 13111  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-unif 13119  df-0g 13277  df-topgen 13279  df-iimas 13321  df-qus 13322  df-mgm 13375  df-sgrp 13421  df-mnd 13436  df-mhm 13478  df-grp 13522  df-minusg 13523  df-sbg 13524  df-mulg 13643  df-subg 13693  df-nsg 13694  df-eqg 13695  df-ghm 13764  df-cmn 13809  df-abl 13810  df-mgp 13870  df-rng 13882  df-ur 13909  df-srg 13913  df-ring 13947  df-cring 13948  df-oppr 14017  df-dvdsr 14038  df-unit 14039  df-invr 14070  df-rhm 14101  df-subrg 14168  df-rlreg 14207  df-lmod 14238  df-lssm 14302  df-lsp 14336  df-sra 14384  df-rgmod 14385  df-lidl 14418  df-rsp 14419  df-2idl 14449  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-fg 14498  df-metu 14499  df-cnfld 14506  df-zring 14540  df-zrh 14563  df-zn 14565

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