Theorem setsabsd 12956

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsabsd.s	|- ( ph -> S e. V )
setsabsd.a	|- ( ph -> A e. W )
setsabsd.b	|- ( ph -> B e. X )
setsabsd.c	|- ( ph -> C e. U )

Assertion

Ref	Expression
setsabsd	|- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsabsd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
2		setsabsd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. W )
3		setsabsd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. X )
4		setsresg 12955	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
6	5	uneq1d 3330	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7		setsex 12949	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
9		setsabsd.c	. . 3 |- ( ph -> C e. U )
10		setsvala 12948	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
11	8, 2, 9, 10	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
12		setsvala 12948	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1250	. 2 |- ( ph -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
14	6, 11, 13	3eqtr4d 2249	1 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   \ cdif 3167   u. cun 3168   {csn 3638   <.cop 3641   |` cres 4690  (class class class)co 5962   sSet csts 12915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-sets 12924

This theorem is referenced by:  ressressg  12992