Theorem setsabsd 12504

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsabsd.s	|- ( ph -> S e. V )
setsabsd.a	|- ( ph -> A e. W )
setsabsd.b	|- ( ph -> B e. X )
setsabsd.c	|- ( ph -> C e. U )

Assertion

Ref	Expression
setsabsd	|- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsabsd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
2		setsabsd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. W )
3		setsabsd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. X )
4		setsresg 12503	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
6	5	uneq1d 3290	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7		setsex 12497	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
9		setsabsd.c	. . 3 |- ( ph -> C e. U )
10		setsvala 12496	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
11	8, 2, 9, 10	syl3anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
12		setsvala 12496	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1238	. 2 |- ( ph -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
14	6, 11, 13	3eqtr4d 2220	1 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   \ cdif 3128   u. cun 3129   {csn 3594   <.cop 3597   |` cres 4630  (class class class)co 5878   sSet csts 12463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-sets 12472

This theorem is referenced by:  ressressg  12537