Theorem setsabsd 11987

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsabsd.s	|- ( ph -> S e. V )
setsabsd.a	|- ( ph -> A e. W )
setsabsd.b	|- ( ph -> B e. X )
setsabsd.c	|- ( ph -> C e. U )

Assertion

Ref	Expression
setsabsd	|- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsabsd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
2		setsabsd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. W )
3		setsabsd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. X )
4		setsresg 11986	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
6	5	uneq1d 3224	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7		setsex 11980	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1216	. . 3 |- ( ph -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
9		setsabsd.c	. . 3 |- ( ph -> C e. U )
10		setsvala 11979	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
11	8, 2, 9, 10	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
12		setsvala 11979	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1216	. 2 |- ( ph -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
14	6, 11, 13	3eqtr4d 2180	1 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   \ cdif 3063   u. cun 3064   {csn 3522   <.cop 3525   |` cres 4536  (class class class)co 5767   sSet csts 11946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-res 4546  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sets 11955

This theorem is referenced by: (None)