Theorem setsabsd 12550

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsabsd.s	|- ( ph -> S e. V )
setsabsd.a	|- ( ph -> A e. W )
setsabsd.b	|- ( ph -> B e. X )
setsabsd.c	|- ( ph -> C e. U )

Assertion

Ref	Expression
setsabsd	|- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Proof of Theorem setsabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsabsd.s	. . . 4 |- ( ph -> S e. V )
2		setsabsd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. W )
3		setsabsd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. X )
4		setsresg 12549	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
6	5	uneq1d 3303	. 2 |- ( ph -> ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
7		setsex 12543	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( S sSet <. A , B >. ) e. _V )
9		setsabsd.c	. . 3 |- ( ph -> C e. U )
10		setsvala 12542	. . 3 |- ( ( ( S sSet <. A , B >. ) e. _V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
11	8, 2, 9, 10	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
12		setsvala 12542	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ C e. U ) -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1249	. 2 |- ( ph -> ( S sSet <. A , C >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , C >. } ) )
14	6, 11, 13	3eqtr4d 2232	1 |- ( ph -> ( ( S sSet <. A , B >. ) sSet <. A , C >. ) = ( S sSet <. A , C >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   \ cdif 3141   u. cun 3142   {csn 3607   <.cop 3610   |` cres 4646  (class class class)co 5895   sSet csts 12509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-sets 12518

This theorem is referenced by:  ressressg  12584