ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvala Unicode version

Theorem setsvala 11772
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsvala  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala
StepHypRef Expression
1 simp1 949 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  S  e.  V )
2 opexg 4088 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
323adant1 967 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
4 setsvalg 11771 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
51, 3, 4syl2anc 406 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
6 dmsnopg 4946 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
76difeq2d 3141 . . . . 5  |-  ( B  e.  W  ->  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  =  ( _V  \  { A } ) )
87reseq2d 4755 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
98uneq1d 3176 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  (
( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  B >. } ) )
1093ad2ant3 972 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
115, 10eqtrd 2132 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   _Vcvv 2641    \ cdif 3018    u. cun 3019   {csn 3474   <.cop 3477   dom cdm 4477    |` cres 4479  (class class class)co 5706   sSet csts 11739
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-res 4489  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sets 11748
This theorem is referenced by:  setsex  11773  strsetsid  11774  fvsetsid  11775  setsabsd  11780  setscom  11781  setsslid  11791
  Copyright terms: Public domain W3C validator