Theorem setsvala 13058

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsvala	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> S e. V )
2		opexg 4313	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3	2	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
4		setsvalg 13057	. . 3 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
6		dmsnopg 5199	. . . . . 6 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
7	6	difeq2d 3322	. . . . 5 |- ( B e. W -> ( _V \ dom { <. A , B >. } ) = ( _V \ { A } ) )
8	7	reseq2d 5004	. . . 4 |- ( B e. W -> ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
9	8	uneq1d 3357	. . 3 |- ( B e. W -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
10	9	3ad2ant3 1044	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
11	5, 10	eqtrd 2262	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   u. cun 3195   {csn 3666   <.cop 3669   dom cdm 4718   |` cres 4720  (class class class)co 6000   sSet csts 13025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-sets 13034

This theorem is referenced by:  setsex  13059  strsetsid  13060  fvsetsid  13061  setsabsd  13066  setscom  13067  setsslid  13078