Theorem setsvala 13243

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsvala	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> S e. V )
2		opexg 4344	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3	2	3adant1 1042	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
4		setsvalg 13242	. . 3 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
6		dmsnopg 5234	. . . . . 6 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
7	6	difeq2d 3337	. . . . 5 |- ( B e. W -> ( _V \ dom { <. A , B >. } ) = ( _V \ { A } ) )
8	7	reseq2d 5038	. . . 4 |- ( B e. W -> ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
9	8	uneq1d 3372	. . 3 |- ( B e. W -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
10	9	3ad2ant3 1047	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
11	5, 10	eqtrd 2265	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   \ cdif 3208   u. cun 3209   {csn 3689   <.cop 3692   dom cdm 4749   |` cres 4751  (class class class)co 6050   sSet csts 13210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sets 13219

This theorem is referenced by:  setsex  13244  strsetsid  13245  fvsetsid  13246  setsabsd  13251  setscom  13252  setsslid  13263