Theorem setsvala 12447

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsvala	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> S e. V )
2		opexg 4213	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3	2	3adant1 1010	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
4		setsvalg 12446	. . 3 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 409	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
6		dmsnopg 5082	. . . . . 6 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
7	6	difeq2d 3245	. . . . 5 |- ( B e. W -> ( _V \ dom { <. A , B >. } ) = ( _V \ { A } ) )
8	7	reseq2d 4891	. . . 4 |- ( B e. W -> ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
9	8	uneq1d 3280	. . 3 |- ( B e. W -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
10	9	3ad2ant3 1015	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
11	5, 10	eqtrd 2203	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   u. cun 3119   {csn 3583   <.cop 3586   dom cdm 4611   |` cres 4613  (class class class)co 5853   sSet csts 12414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sets 12423

This theorem is referenced by:  setsex  12448  strsetsid  12449  fvsetsid  12450  setsabsd  12455  setscom  12456  setsslid  12466