ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvala Unicode version

Theorem setsvala 12029
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsvala  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  S  e.  V )
2 opexg 4158 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
323adant1 1000 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
4 setsvalg 12028 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
51, 3, 4syl2anc 409 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
6 dmsnopg 5018 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
76difeq2d 3199 . . . . 5  |-  ( B  e.  W  ->  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  =  ( _V  \  { A } ) )
87reseq2d 4827 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
98uneq1d 3234 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  (
( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  B >. } ) )
1093ad2ant3 1005 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
115, 10eqtrd 2173 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    \ cdif 3073    u. cun 3074   {csn 3532   <.cop 3535   dom cdm 4547    |` cres 4549  (class class class)co 5782   sSet csts 11996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sets 12005
This theorem is referenced by:  setsex  12030  strsetsid  12031  fvsetsid  12032  setsabsd  12037  setscom  12038  setsslid  12048
  Copyright terms: Public domain W3C validator