ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvala Unicode version

Theorem setsvala 12463
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsvala  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  S  e.  V )
2 opexg 4224 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
323adant1 1015 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
4 setsvalg 12462 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
51, 3, 4syl2anc 411 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
6 dmsnopg 5095 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
76difeq2d 3253 . . . . 5  |-  ( B  e.  W  ->  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  =  ( _V  \  { A } ) )
87reseq2d 4902 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
98uneq1d 3288 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  (
( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  B >. } ) )
1093ad2ant3 1020 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
115, 10eqtrd 2210 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    \ cdif 3126    u. cun 3127   {csn 3591   <.cop 3594   dom cdm 4622    |` cres 4624  (class class class)co 5868   sSet csts 12430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fv 5219  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-sets 12439
This theorem is referenced by:  setsex  12464  strsetsid  12465  fvsetsid  12466  setsabsd  12471  setscom  12472  setsslid  12482
  Copyright terms: Public domain W3C validator