Theorem setsvala 13112

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsvala	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> S e. V )
2		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3	2	3adant1 1041	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
4		setsvalg 13111	. . 3 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
6		dmsnopg 5208	. . . . . 6 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
7	6	difeq2d 3325	. . . . 5 |- ( B e. W -> ( _V \ dom { <. A , B >. } ) = ( _V \ { A } ) )
8	7	reseq2d 5013	. . . 4 |- ( B e. W -> ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
9	8	uneq1d 3360	. . 3 |- ( B e. W -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
10	9	3ad2ant3 1046	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
11	5, 10	eqtrd 2264	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   \ cdif 3197   u. cun 3198   {csn 3669   <.cop 3672   dom cdm 4725   |` cres 4727  (class class class)co 6017   sSet csts 13079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-sets 13088

This theorem is referenced by:  setsex  13113  strsetsid  13114  fvsetsid  13115  setsabsd  13120  setscom  13121  setsslid  13132