Theorem setsvala 13103

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsvala	|- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> S e. V )
2		opexg 4318	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
3	2	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
4		setsvalg 13102	. . 3 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
6		dmsnopg 5206	. . . . . 6 |- ( B e. W -> dom { <. A , B >. } = { A } )
7	6	difeq2d 3323	. . . . 5 |- ( B e. W -> ( _V \ dom { <. A , B >. } ) = ( _V \ { A } ) )
8	7	reseq2d 5011	. . . 4 |- ( B e. W -> ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
9	8	uneq1d 3358	. . 3 |- ( B e. W -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
10	9	3ad2ant3 1044	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
11	5, 10	eqtrd 2262	1 |- ( ( S e. V /\ A e. X /\ B e. W ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. { <. A , B >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   {csn 3667   <.cop 3670   dom cdm 4723   |` cres 4725  (class class class)co 6013   sSet csts 13070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sets 13079

This theorem is referenced by:  setsex  13104  strsetsid  13105  fvsetsid  13106  setsabsd  13111  setscom  13112  setsslid  13123