ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvala Unicode version

Theorem setsvala 11917
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsvala  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )

Proof of Theorem setsvala
StepHypRef Expression
1 simp1 966 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  S  e.  V )
2 opexg 4120 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
323adant1 984 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
4 setsvalg 11916 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
51, 3, 4syl2anc 408 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
6 dmsnopg 4980 . . . . . 6  |-  ( B  e.  W  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
76difeq2d 3164 . . . . 5  |-  ( B  e.  W  ->  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  =  ( _V  \  { A } ) )
87reseq2d 4789 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
98uneq1d 3199 . . 3  |-  ( B  e.  W  ->  (
( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u. 
{ <. A ,  B >. } ) )
1093ad2ant3 989 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
115, 10eqtrd 2150 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 947    = wceq 1316    e. wcel 1465   _Vcvv 2660    \ cdif 3038    u. cun 3039   {csn 3497   <.cop 3500   dom cdm 4509    |` cres 4511  (class class class)co 5742   sSet csts 11884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sets 11893
This theorem is referenced by:  setsex  11918  strsetsid  11919  fvsetsid  11920  setsabsd  11925  setscom  11926  setsslid  11936
  Copyright terms: Public domain W3C validator