Theorem setsabsd 12037

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsabsd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsabsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
setsabsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
setsabsd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setsabsd	⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsabsd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		setsabsd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
3		setsabsd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		setsresg 12036	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
6	5	uneq1d 3234	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7		setsex 12030	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1217	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
9		setsabsd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
10		setsvala 12029	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
11	8, 2, 9, 10	syl3anc 1217	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
12		setsvala 12029	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
14	6, 11, 13	3eqtr4d 2183	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ∖ cdif 3073   ∪ cun 3074  {csn 3532  ⟨cop 3535   ↾ cres 4549  (class class class)co 5782   sSet csts 11996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sets 12005

This theorem is referenced by: (None)