ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsabsd GIF version

Theorem setsabsd 11998
Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
setsabsd.s (𝜑𝑆𝑉)
setsabsd.a (𝜑𝐴𝑊)
setsabsd.b (𝜑𝐵𝑋)
setsabsd.c (𝜑𝐶𝑈)
Assertion
Ref Expression
setsabsd (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsabsd
StepHypRef Expression
1 setsabsd.s . . . 4 (𝜑𝑆𝑉)
2 setsabsd.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑊)
3 setsabsd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
4 setsresg 11997 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
51, 2, 3, 4syl3anc 1216 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
65uneq1d 3229 . 2 (𝜑 → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7 setsex 11991 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐵𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
81, 2, 3, 7syl3anc 1216 . . 3 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
9 setsabsd.c . . 3 (𝜑𝐶𝑈)
10 setsvala 11990 . . 3 (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V ∧ 𝐴𝑊𝐶𝑈) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
118, 2, 9, 10syl3anc 1216 . 2 (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
12 setsvala 11990 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑊𝐶𝑈) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
131, 2, 9, 12syl3anc 1216 . 2 (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
146, 11, 133eqtr4d 2182 1 (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  cdif 3068  cun 3069  {csn 3527  cop 3530  cres 4541  (class class class)co 5774   sSet csts 11957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sets 11966
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator