Theorem setsabsd 13182

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsabsd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsabsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
setsabsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
setsabsd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setsabsd	⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsabsd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		setsabsd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
3		setsabsd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		setsresg 13181	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
6	5	uneq1d 3362	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7		setsex 13175	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
9		setsabsd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
10		setsvala 13174	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
11	8, 2, 9, 10	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
12		setsvala 13174	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
14	6, 11, 13	3eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∖ cdif 3198   ∪ cun 3199  {csn 3673  ⟨cop 3676   ↾ cres 4733  (class class class)co 6028   sSet csts 13141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sets 13150

This theorem is referenced by:  ressressg  13219