Theorem setsabsd 12660

Description: Replacing the same components twice yields the same as the second setting only. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsabsd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
setsabsd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
setsabsd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
setsabsd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
setsabsd	⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Proof of Theorem setsabsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsabsd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
2		setsabsd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑊)
3		setsabsd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
4		setsresg 12659	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) = (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})))
6	5	uneq1d 3313	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
7		setsex 12653	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
9		setsabsd.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑈)
10		setsvala 12652	. . 3 ⊢ (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
11	8, 2, 9, 10	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
12		setsvala 12652	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑈) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
13	1, 2, 9, 12	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐶⟩}))
14	6, 11, 13	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩) = (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐶⟩))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151   ∪ cun 3152  {csn 3619  ⟨cop 3622   ↾ cres 4662  (class class class)co 5919   sSet csts 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sets 12628

This theorem is referenced by:  ressressg  12696