Theorem setsresg 12500

Description: The structure replacement function does not affect the value of S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsresg	|- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Proof of Theorem setsresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4229	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
2		setsvalg 12492	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ ( A e. W /\ B e. X ) ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
4	3	3impb 1199	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	4	reseq1d 4907	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
6		resundir 4922	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
7		dmsnopg 5101	. . . . . . . . 9 |- ( B e. X -> dom { <. A , B >. } = { A } )
8	7	3ad2ant3 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
9		eqimss 3210	. . . . . . . 8 |- ( dom { <. A , B >. } = { A } -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
11	10	sscond 3273	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
12		resabs1 4937	. . . . . 6 |- ( ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
14		dmres 4929	. . . . . . 7 |- dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } )
15		disj2 3479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) <-> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
16	11, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) )
17	14, 16	eqtrid 2222	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
18		relres 4936	. . . . . . 7 |- Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) )
19		reldm0 4846	. . . . . . 7 |- ( Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) -> ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
21	17, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
22	13, 21	uneq12d 3291	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) )
23		un0 3457	. . . 4 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
24	22, 23	eqtrdi 2226	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
25	6, 24	eqtrid 2222	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
26	5, 25	eqtrd 2210	1 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   \ cdif 3127   u. cun 3128   i^i cin 3129   C_ wss 3130   (/)c0 3423   {csn 3593   <.cop 3596   dom cdm 4627   |` cres 4629   Rel wrel 4632  (class class class)co 5875   sSet csts 12460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sets 12469

This theorem is referenced by:  setsabsd  12501  setsslnid  12514