ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsresg Unicode version

Theorem setsresg 12656
Description: The structure replacement function does not affect the value of  S away from  A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsresg  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )

Proof of Theorem setsresg
StepHypRef Expression
1 opexg 4257 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  W  /\  B  e.  X )  -> 
<. A ,  B >.  e. 
_V )
2 setsvalg 12648 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  <. A ,  B >.  e. 
_V )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
31, 2sylan2 286 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  ( A  e.  W  /\  B  e.  X
) )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
433impb 1201 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( S sSet  <. A ,  B >. )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } ) )
54reseq1d 4941 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
6 resundir 4956 . . 3  |-  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
7 dmsnopg 5137 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  X  ->  dom  {
<. A ,  B >. }  =  { A }
)
873ad2ant3 1022 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  dom  { <. A ,  B >. }  =  { A } )
9 eqimss 3233 . . . . . . . 8  |-  ( dom 
{ <. A ,  B >. }  =  { A }  ->  dom  { <. A ,  B >. }  C_  { A } )
108, 9syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  dom  { <. A ,  B >. }  C_  { A } )
1110sscond 3296 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
12 resabs1 4971 . . . . . 6  |-  ( ( _V  \  { A } )  C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( S  |`  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
14 dmres 4963 . . . . . . 7  |-  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )
15 disj2 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( _V  \  { A } )  i^i  dom  {
<. A ,  B >. } )  =  (/)  <->  ( _V  \  { A } ) 
C_  ( _V  \  dom  { <. A ,  B >. } ) )
1611, 15sylibr 134 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( _V  \  { A } )  i^i 
dom  { <. A ,  B >. } )  =  (/) )
1714, 16eqtrid 2238 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  (/) )
18 relres 4970 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )
19 reldm0 4880 . . . . . . 7  |-  ( Rel  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  ->  (
( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  (/)  <->  dom  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/)  <->  dom  ( {
<. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  (/) )
2117, 20sylibr 134 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A }
) )  =  (/) )
2213, 21uneq12d 3314 . . . 4  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  (/) ) )
23 un0 3480 . . . 4  |-  ( ( S  |`  ( _V  \  { A } ) )  u.  (/) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) )
2422, 23eqtrdi 2242 . . 3  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  |`  ( _V  \  { A }
) )  u.  ( { <. A ,  B >. }  |`  ( _V  \  { A } ) ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
256, 24eqtrid 2238 . 2  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( S  |`  ( _V  \  dom  {
<. A ,  B >. } ) )  u.  { <. A ,  B >. } )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A } ) ) )
265, 25eqtrd 2226 1  |-  ( ( S  e.  V  /\  A  e.  W  /\  B  e.  X )  ->  ( ( S sSet  <. A ,  B >. )  |`  ( _V  \  { A } ) )  =  ( S  |`  ( _V  \  { A }
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164   _Vcvv 2760    \ cdif 3150    u. cun 3151    i^i cin 3152    C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   <.cop 3621   dom cdm 4659    |` cres 4661   Rel wrel 4664  (class class class)co 5918   sSet csts 12616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sets 12625
This theorem is referenced by:  setsabsd  12657  setsslnid  12670
  Copyright terms: Public domain W3C validator