Theorem setsresg 12432

Description: The structure replacement function does not affect the value of S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsresg	|- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Proof of Theorem setsresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4206	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
2		setsvalg 12424	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
3	1, 2	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ ( A e. W /\ B e. X ) ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
4	3	3impb 1189	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	4	reseq1d 4883	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
6		resundir 4898	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
7		dmsnopg 5075	. . . . . . . . 9 |- ( B e. X -> dom { <. A , B >. } = { A } )
8	7	3ad2ant3 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
9		eqimss 3196	. . . . . . . 8 |- ( dom { <. A , B >. } = { A } -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
11	10	sscond 3259	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
12		resabs1 4913	. . . . . 6 |- ( ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
14		dmres 4905	. . . . . . 7 |- dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } )
15		disj2 3464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) <-> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
16	11, 15	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) )
17	14, 16	syl5eq 2211	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
18		relres 4912	. . . . . . 7 |- Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) )
19		reldm0 4822	. . . . . . 7 |- ( Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) -> ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
21	17, 20	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
22	13, 21	uneq12d 3277	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) )
23		un0 3442	. . . 4 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
24	22, 23	eqtrdi 2215	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
25	6, 24	syl5eq 2211	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
26	5, 25	eqtrd 2198	1 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   <.cop 3579   dom cdm 4604   |` cres 4606   Rel wrel 4609  (class class class)co 5842   sSet csts 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sets 12401

This theorem is referenced by:  setsabsd  12433  setsslnid  12445