Theorem setsresg 12985

Description: The structure replacement function does not affect the value of S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsresg	|- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Proof of Theorem setsresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4290	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
2		setsvalg 12977	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ ( A e. W /\ B e. X ) ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
4	3	3impb 1202	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	4	reseq1d 4977	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
6		resundir 4992	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
7		dmsnopg 5173	. . . . . . . . 9 |- ( B e. X -> dom { <. A , B >. } = { A } )
8	7	3ad2ant3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
9		eqimss 3255	. . . . . . . 8 |- ( dom { <. A , B >. } = { A } -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
11	10	sscond 3318	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
12		resabs1 5007	. . . . . 6 |- ( ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
14		dmres 4999	. . . . . . 7 |- dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } )
15		disj2 3524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) <-> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
16	11, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) )
17	14, 16	eqtrid 2252	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
18		relres 5006	. . . . . . 7 |- Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) )
19		reldm0 4915	. . . . . . 7 |- ( Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) -> ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
21	17, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
22	13, 21	uneq12d 3336	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) )
23		un0 3502	. . . 4 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
24	22, 23	eqtrdi 2256	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
25	6, 24	eqtrid 2252	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
26	5, 25	eqtrd 2240	1 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   \ cdif 3171   u. cun 3172   i^i cin 3173   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   <.cop 3646   dom cdm 4693   |` cres 4695   Rel wrel 4698  (class class class)co 5967   sSet csts 12945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-sets 12954

This theorem is referenced by:  setsabsd  12986  setsslnid  12999