Theorem setsresg 12716

Description: The structure replacement function does not affect the value of S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsresg	|- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Proof of Theorem setsresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4261	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
2		setsvalg 12708	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ ( A e. W /\ B e. X ) ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
4	3	3impb 1201	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	4	reseq1d 4945	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
6		resundir 4960	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
7		dmsnopg 5141	. . . . . . . . 9 |- ( B e. X -> dom { <. A , B >. } = { A } )
8	7	3ad2ant3 1022	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
9		eqimss 3237	. . . . . . . 8 |- ( dom { <. A , B >. } = { A } -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
11	10	sscond 3300	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
12		resabs1 4975	. . . . . 6 |- ( ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
14		dmres 4967	. . . . . . 7 |- dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } )
15		disj2 3506	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) <-> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
16	11, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) )
17	14, 16	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
18		relres 4974	. . . . . . 7 |- Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) )
19		reldm0 4884	. . . . . . 7 |- ( Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) -> ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
21	17, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
22	13, 21	uneq12d 3318	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) )
23		un0 3484	. . . 4 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
24	22, 23	eqtrdi 2245	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
25	6, 24	eqtrid 2241	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
26	5, 25	eqtrd 2229	1 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   <.cop 3625   dom cdm 4663   |` cres 4665   Rel wrel 4668  (class class class)co 5922   sSet csts 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-sets 12685

This theorem is referenced by:  setsabsd  12717  setsslnid  12730