Theorem setsresg 13110

Description: The structure replacement function does not affect the value of S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsresg	|- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Proof of Theorem setsresg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opexg 4318	. . . . 5 |- ( ( A e. W /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. _V )
2		setsvalg 13102	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
3	1, 2	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ ( A e. W /\ B e. X ) ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
4	3	3impb 1223	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( S sSet <. A , B >. ) = ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) )
5	4	reseq1d 5010	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) )
6		resundir 5025	. . 3 |- ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) )
7		dmsnopg 5206	. . . . . . . . 9 |- ( B e. X -> dom { <. A , B >. } = { A } )
8	7	3ad2ant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } = { A } )
9		eqimss 3279	. . . . . . . 8 |- ( dom { <. A , B >. } = { A } -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom { <. A , B >. } C_ { A } )
11	10	sscond 3342	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
12		resabs1 5040	. . . . . 6 |- ( ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
14		dmres 5032	. . . . . . 7 |- dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } )
15		disj2 3548	. . . . . . . 8 |- ( ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) <-> ( _V \ { A } ) C_ ( _V \ dom { <. A , B >. } ) )
16	11, 15	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( _V \ { A } ) i^i dom { <. A , B >. } ) = (/) )
17	14, 16	eqtrid 2274	. . . . . 6 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
18		relres 5039	. . . . . . 7 |- Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) )
19		reldm0 4947	. . . . . . 7 |- ( Rel ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) -> ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) ) )
20	18, 19	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) <-> dom ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
21	17, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) = (/) )
22	13, 21	uneq12d 3360	. . . 4 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) )
23		un0 3526	. . . 4 |- ( ( S |` ( _V \ { A } ) ) u. (/) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) )
24	22, 23	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) |` ( _V \ { A } ) ) u. ( { <. A , B >. } |` ( _V \ { A } ) ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
25	6, 24	eqtrid 2274	. 2 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( ( S |` ( _V \ dom { <. A , B >. } ) ) u. { <. A , B >. } ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )
26	5, 25	eqtrd 2262	1 |- ( ( S e. V /\ A e. W /\ B e. X ) -> ( ( S sSet <. A , B >. ) |` ( _V \ { A } ) ) = ( S |` ( _V \ { A } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   u. cun 3196   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   <.cop 3670   dom cdm 4723   |` cres 4725   Rel wrel 4728  (class class class)co 6013   sSet csts 13070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sets 13079

This theorem is referenced by:  setsabsd  13111  setsslnid  13124