Theorem subneintrd 8376

Description: Introducing subtraction on both sides of a statement of inequality. Contrapositive of subcand 8373. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )
subaddd.3	|- ( ph -> C e. CC )
subneintrd.4	|- ( ph -> B =/= C )

Assertion

Ref	Expression
subneintrd	|- ( ph -> ( A - B ) =/= ( A - C ) )

Proof of Theorem subneintrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subneintrd.4	. 2 |- ( ph -> B =/= C )
2		negidd.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
3		pncand.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
4		subaddd.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
5	2, 3, 4	subcanad 8375	. . 3 |- ( ph -> ( ( A - B ) = ( A - C ) <-> B = C ) )
6	5	necon3bid 2405	. 2 |- ( ph -> ( ( A - B ) =/= ( A - C ) <-> B =/= C ) )
7	1, 6	mpbird 167	1 |- ( ph -> ( A - B ) =/= ( A - C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164   =/= wne 2364  (class class class)co 5919   CCcc 7872   - cmin 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194

This theorem is referenced by: (None)